Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31772 / 31860
↖ ↑ ↗
← N  4.981505°
W  5.471191°		 ← 608.48 m → N  4.981505°
W  5.465698°		 →
↑
608.49 m
↓
↑
608.49 m
↓
N  4.976032°
W  5.471191°		 ← 608.49 m →
370 259 m²		 N  4.976032°
W  5.465698°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31772 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31860 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484809875488281 y=0.486152648925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484809875488281 × 216)
    floor (0.484809875488281 × 65536)
    floor (31772.5)     		tx = 31772
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.486152648925781 × 216)
    floor (0.486152648925781 × 65536)
    floor (31860.5)     		ty = 31860
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31772 / 31860 ti = "16/31772/31860"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31772/31860.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31772 ÷ 216
    31772 ÷ 65536     		x = 0.48480224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31860 ÷ 216
    31860 ÷ 65536     		y = 0.48614501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48480224609375 × 2 - 1) × π
    -0.0303955078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.09549030
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.48614501953125 × 2 - 1) × π
    0.0277099609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.087053409710022
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09549030} λ = -0.09549030}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.087053409710022))-π/2
    2×atan(1.09095494574958)-π/2
    2×0.828869995803959-π/2
    1.65773999160792-1.57079632675     		φ = 0.08694366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09549030} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.471191°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.08694366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 4.981505°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31772 KachelY 31860 -0.09549030 0.08694366 -5.471191 4.981505
    Oben rechts KachelX + 1 31773 KachelY 31860 -0.09539443 0.08694366 -5.465698 4.981505
    Unten links KachelX 31772 KachelY + 1 31861 -0.09549030 0.08684815 -5.471191 4.976032
    Unten rechts KachelX + 1 31773 KachelY + 1 31861 -0.09539443 0.08684815 -5.465698 4.976032
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.08694366-0.08684815) × R
    9.5510000000007e-05 × 6371000     		dl = 608.494210000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.08694366-0.08684815) × R
    9.5510000000007e-05 × 6371000     		dr = 608.494210000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09549030--0.09539443) × cos(0.08694366) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.996222780289096 × 6371000     		do = 608.480690395964m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09549030--0.09539443) × cos(0.08684815) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.996231069276233 × 6371000     		du = 608.485753207933m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.08694366)-sin(0.08684815))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.996222780289096-0.996231069276233)×R²
    abs(-0.09539443--0.09549030)×8.28898713667314e-06×R²
    9.58699999999979e-05×8.28898713667314e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×8.28898713667314e-06×40589641000000     		ar = 370258.517630148m²