Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31772 / 31848
↖ ↑ ↗
← N  5.047171°
W  5.471191°		 ← 608.42 m → N  5.047171°
W  5.465698°		 →
↑
608.49 m
↓
↑
608.49 m
↓
N  5.041699°
W  5.471191°		 ← 608.42 m →
370 221 m²		 N  5.041699°
W  5.465698°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31772 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31848 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484809875488281 y=0.485969543457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484809875488281 × 216)
    floor (0.484809875488281 × 65536)
    floor (31772.5)     		tx = 31772
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.485969543457031 × 216)
    floor (0.485969543457031 × 65536)
    floor (31848.5)     		ty = 31848
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31772 / 31848 ti = "16/31772/31848"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31772/31848.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31772 ÷ 216
    31772 ÷ 65536     		x = 0.48480224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31848 ÷ 216
    31848 ÷ 65536     		y = 0.4859619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48480224609375 × 2 - 1) × π
    -0.0303955078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.09549030
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4859619140625 × 2 - 1) × π
    0.028076171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0882038953009033
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09549030} λ = -0.09549030}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0882038953009033))-π/2
    2×atan(1.09221079597524)-π/2
    2×0.829443037030972-π/2
    1.65888607406194-1.57079632675     		φ = 0.08808975
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09549030} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.471191°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.08808975 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.047171°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31772 KachelY 31848 -0.09549030 0.08808975 -5.471191 5.047171
    Oben rechts KachelX + 1 31773 KachelY 31848 -0.09539443 0.08808975 -5.465698 5.047171
    Unten links KachelX 31772 KachelY + 1 31849 -0.09549030 0.08799424 -5.471191 5.041699
    Unten rechts KachelX + 1 31773 KachelY + 1 31849 -0.09539443 0.08799424 -5.465698 5.041699
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.08808975-0.08799424) × R
    9.55099999999931e-05 × 6371000     		dl = 608.494209999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.08808975-0.08799424) × R
    9.55099999999931e-05 × 6371000     		dr = 608.494209999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09549030--0.09539443) × cos(0.08808975) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.996122606263553 × 6371000     		do = 608.41950532629m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09549030--0.09539443) × cos(0.08799424) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.996131004295266 × 6371000     		du = 608.424634741352m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.08808975)-sin(0.08799424))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.996122606263553-0.996131004295266)×R²
    abs(-0.09539443--0.09549030)×8.39803171259756e-06×R²
    9.58699999999979e-05×8.39803171259756e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×8.39803171259756e-06×40589641000000     		ar = 370221.307133173m²