Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31772 / 31829
↖ ↑ ↗
← N  5.151128°
W  5.471191°		 ← 608.32 m → N  5.151128°
W  5.465698°		 →
↑
608.37 m
↓
↑
608.37 m
↓
N  5.145657°
W  5.471191°		 ← 608.33 m →
370 084 m²		 N  5.145657°
W  5.465698°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31772 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31829 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484809875488281 y=0.485679626464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484809875488281 × 216)
    floor (0.484809875488281 × 65536)
    floor (31772.5)     		tx = 31772
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.485679626464844 × 216)
    floor (0.485679626464844 × 65536)
    floor (31829.5)     		ty = 31829
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31772 / 31829 ti = "16/31772/31829"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31772/31829.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31772 ÷ 216
    31772 ÷ 65536     		x = 0.48480224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31829 ÷ 216
    31829 ÷ 65536     		y = 0.485671997070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48480224609375 × 2 - 1) × π
    -0.0303955078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.09549030
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.485671997070312 × 2 - 1) × π
    0.028656005859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0900254974864655
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09549030} λ = -0.09549030}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0900254974864655))-π/2
    2×atan(1.09420218275488)-π/2
    2×0.830350233397469-π/2
    1.66070046679494-1.57079632675     		φ = 0.08990414
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09549030} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.471191°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.08990414 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.151128°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31772 KachelY 31829 -0.09549030 0.08990414 -5.471191 5.151128
    Oben rechts KachelX + 1 31773 KachelY 31829 -0.09539443 0.08990414 -5.465698 5.151128
    Unten links KachelX 31772 KachelY + 1 31830 -0.09549030 0.08980865 -5.471191 5.145657
    Unten rechts KachelX + 1 31773 KachelY + 1 31830 -0.09539443 0.08980865 -5.465698 5.145657
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.08990414-0.08980865) × R
    9.54899999999897e-05 × 6371000     		dl = 608.366789999935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.08990414-0.08980865) × R
    9.54899999999897e-05 × 6371000     		dr = 608.366789999935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09549030--0.09539443) × cos(0.08990414) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.995961344193733 × 6371000     		do = 608.321008426279m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09549030--0.09539443) × cos(0.08980865) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.995969913038962 × 6371000     		du = 608.326242172148m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.08990414)-sin(0.08980865))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995961344193733-0.995969913038962)×R²
    abs(-0.09539443--0.09549030)×8.56884522926205e-06×R²
    9.58699999999979e-05×8.56884522926205e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×8.56884522926205e-06×40589641000000     		ar = 370083.891485657m²