Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31772 / 31828
↖ ↑ ↗
← N  5.156599°
W  5.471191°		 ← 608.32 m → N  5.156599°
W  5.465698°		 →
↑
608.37 m
↓
↑
608.37 m
↓
N  5.151128°
W  5.471191°		 ← 608.32 m →
370 081 m²		 N  5.151128°
W  5.465698°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31772 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31828 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484809875488281 y=0.485664367675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484809875488281 × 216)
    floor (0.484809875488281 × 65536)
    floor (31772.5)     		tx = 31772
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.485664367675781 × 216)
    floor (0.485664367675781 × 65536)
    floor (31828.5)     		ty = 31828
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31772 / 31828 ti = "16/31772/31828"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31772/31828.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31772 ÷ 216
    31772 ÷ 65536     		x = 0.48480224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31828 ÷ 216
    31828 ÷ 65536     		y = 0.48565673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48480224609375 × 2 - 1) × π
    -0.0303955078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.09549030
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.48565673828125 × 2 - 1) × π
    0.0286865234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0901213712857056
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09549030} λ = -0.09549030}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0901213712857056))-π/2
    2×atan(1.09430709310427)-π/2
    2×0.830397976490896-π/2
    1.66079595298179-1.57079632675     		φ = 0.08999963
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09549030} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.471191°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.08999963 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.156599°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31772 KachelY 31828 -0.09549030 0.08999963 -5.471191 5.156599
    Oben rechts KachelX + 1 31773 KachelY 31828 -0.09539443 0.08999963 -5.465698 5.156599
    Unten links KachelX 31772 KachelY + 1 31829 -0.09549030 0.08990414 -5.471191 5.151128
    Unten rechts KachelX + 1 31773 KachelY + 1 31829 -0.09539443 0.08990414 -5.465698 5.151128
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.08999963-0.08990414) × R
    9.54900000000036e-05 × 6371000     		dl = 608.366790000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.08999963-0.08990414) × R
    9.54900000000036e-05 × 6371000     		dr = 608.366790000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09549030--0.09539443) × cos(0.08999963) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.995952766266989 × 6371000     		do = 608.315769133532m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09549030--0.09539443) × cos(0.08990414) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.995961344193733 × 6371000     		du = 608.321008426279m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.08999963)-sin(0.08990414))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995952766266989-0.995961344193733)×R²
    abs(-0.09539443--0.09549030)×8.57792674358038e-06×R²
    9.58699999999979e-05×8.57792674358038e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×8.57792674358038e-06×40589641000000     		ar = 370080.705761208m²