Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31771 / 31841
↖ ↑ ↗
← N  5.085473°
W  5.476685°		 ← 608.45 m → N  5.085473°
W  5.471191°		 →
↑
608.37 m
↓
↑
608.37 m
↓
N  5.080001°
W  5.476685°		 ← 608.45 m →
370 160 m²		 N  5.080001°
W  5.471191°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31771 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31841 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484794616699219 y=0.485862731933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484794616699219 × 216)
    floor (0.484794616699219 × 65536)
    floor (31771.5)     		tx = 31771
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.485862731933594 × 216)
    floor (0.485862731933594 × 65536)
    floor (31841.5)     		ty = 31841
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31771 / 31841 ti = "16/31771/31841"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31771/31841.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31771 ÷ 216
    31771 ÷ 65536     		x = 0.484786987304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31841 ÷ 216
    31841 ÷ 65536     		y = 0.485855102539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484786987304688 × 2 - 1) × π
    -0.030426025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.09558618
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.485855102539062 × 2 - 1) × π
    0.028289794921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0888750118955841
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09558618} λ = -0.09558618}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0888750118955841))-π/2
    2×atan(1.09294404278483)-π/2
    2×0.829777284344434-π/2
    1.65955456868887-1.57079632675     		φ = 0.08875824
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09558618} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.476685°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.08875824 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.085473°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31771 KachelY 31841 -0.09558618 0.08875824 -5.476685 5.085473
    Oben rechts KachelX + 1 31772 KachelY 31841 -0.09549030 0.08875824 -5.471191 5.085473
    Unten links KachelX 31771 KachelY + 1 31842 -0.09558618 0.08866275 -5.476685 5.080001
    Unten rechts KachelX + 1 31772 KachelY + 1 31842 -0.09549030 0.08866275 -5.471191 5.080001
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.08875824-0.08866275) × R
    9.54900000000036e-05 × 6371000     		dl = 608.366790000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.08875824-0.08866275) × R
    9.54900000000036e-05 × 6371000     		dr = 608.366790000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09558618--0.09549030) × cos(0.08875824) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.996063572707092 × 6371000     		do = 608.446907562256m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09558618--0.09549030) × cos(0.08866275) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.996072032566177 × 6371000     		du = 608.452075279699m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.08875824)-sin(0.08866275))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.996063572707092-0.996072032566177)×R²
    abs(-0.09549030--0.09558618)×8.45985908526359e-06×R²
    9.58800000000065e-05×8.45985908526359e-06×6371000²
    9.58800000000065e-05×8.45985908526359e-06×40589641000000     		ar = 370160.464254152m²