Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31771 / 31831
↖ ↑ ↗
← N  5.140186°
W  5.476685°		 ← 608.39 m → N  5.140186°
W  5.471191°		 →
↑
608.37 m
↓
↑
608.37 m
↓
N  5.134715°
W  5.476685°		 ← 608.40 m →
370 129 m²		 N  5.134715°
W  5.471191°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31771 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31831 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484794616699219 y=0.485710144042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484794616699219 × 216)
    floor (0.484794616699219 × 65536)
    floor (31771.5)     		tx = 31771
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.485710144042969 × 216)
    floor (0.485710144042969 × 65536)
    floor (31831.5)     		ty = 31831
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31771 / 31831 ti = "16/31771/31831"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31771/31831.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31771 ÷ 216
    31771 ÷ 65536     		x = 0.484786987304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31831 ÷ 216
    31831 ÷ 65536     		y = 0.485702514648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484786987304688 × 2 - 1) × π
    -0.030426025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.09558618
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.485702514648438 × 2 - 1) × π
    0.028594970703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0898337498879852
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09558618} λ = -0.09558618}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0898337498879852))-π/2
    2×atan(1.09399239222814)-π/2
    2×0.830254745978147-π/2
    1.66050949195629-1.57079632675     		φ = 0.08971317
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09558618} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.476685°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.08971317 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.140186°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31771 KachelY 31831 -0.09558618 0.08971317 -5.476685 5.140186
    Oben rechts KachelX + 1 31772 KachelY 31831 -0.09549030 0.08971317 -5.471191 5.140186
    Unten links KachelX 31771 KachelY + 1 31832 -0.09558618 0.08961768 -5.476685 5.134715
    Unten rechts KachelX + 1 31772 KachelY + 1 31832 -0.09549030 0.08961768 -5.471191 5.134715
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.08971317-0.08961768) × R
    9.54899999999897e-05 × 6371000     		dl = 608.366789999935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.08971317-0.08961768) × R
    9.54899999999897e-05 × 6371000     		dr = 608.366789999935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09558618--0.09549030) × cos(0.08971317) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.99597847190667 × 6371000     		do = 608.394923612369m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09558618--0.09549030) × cos(0.08961768) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.995987022589588 × 6371000     		du = 608.400146809684m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.08971317)-sin(0.08961768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99597847190667-0.995987022589588)×R²
    abs(-0.09549030--0.09558618)×8.55068291749639e-06×R²
    9.58800000000065e-05×8.55068291749639e-06×6371000²
    9.58800000000065e-05×8.55068291749639e-06×40589641000000     		ar = 370128.855821416m²