Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31770 / 31822
↖ ↑ ↗
← N  5.189424°
W  5.482178°		 ← 608.28 m → N  5.189424°
W  5.476685°		 →
↑
608.37 m
↓
↑
608.37 m
↓
N  5.183953°
W  5.482178°		 ← 608.29 m →
370 062 m²		 N  5.183953°
W  5.476685°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31770 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31822 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484779357910156 y=0.485572814941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484779357910156 × 216)
    floor (0.484779357910156 × 65536)
    floor (31770.5)     		tx = 31770
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.485572814941406 × 216)
    floor (0.485572814941406 × 65536)
    floor (31822.5)     		ty = 31822
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31770 / 31822 ti = "16/31770/31822"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31770/31822.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31770 ÷ 216
    31770 ÷ 65536     		x = 0.484771728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31822 ÷ 216
    31822 ÷ 65536     		y = 0.485565185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484771728515625 × 2 - 1) × π
    -0.03045654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.09568205
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.485565185546875 × 2 - 1) × π
    0.02886962890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0906966140811462
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09568205} λ = -0.09568205}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0906966140811462))-π/2
    2×atan(1.09493676646575)-π/2
    2×0.830684426396973-π/2
    1.66136885279395-1.57079632675     		φ = 0.09057253
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09568205} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.482178°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.09057253 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.189424°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31770 KachelY 31822 -0.09568205 0.09057253 -5.482178 5.189424
    Oben rechts KachelX + 1 31771 KachelY 31822 -0.09558618 0.09057253 -5.476685 5.189424
    Unten links KachelX 31770 KachelY + 1 31823 -0.09568205 0.09047704 -5.482178 5.183953
    Unten rechts KachelX + 1 31771 KachelY + 1 31823 -0.09558618 0.09047704 -5.476685 5.183953
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.09057253-0.09047704) × R
    9.54900000000036e-05 × 6371000     		dl = 608.366790000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.09057253-0.09047704) × R
    9.54900000000036e-05 × 6371000     		dr = 608.366790000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09568205--0.09558618) × cos(0.09057253) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.995901111617065 × 6371000     		do = 608.284219105095m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09568205--0.09558618) × cos(0.09047704) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.995909744027445 × 6371000     		du = 608.289491675781m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.09057253)-sin(0.09047704))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995901111617065-0.995909744027445)×R²
    abs(-0.09558618--0.09568205)×8.63241037973861e-06×R²
    9.58699999999979e-05×8.63241037973861e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×8.63241037973861e-06×40589641000000     		ar = 370061.521894242m²