Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31769 / 31838
↖ ↑ ↗
← N  5.101887°
W  5.487671°		 ← 608.43 m → N  5.101887°
W  5.482178°		 →
↑
608.43 m
↓
↑
608.43 m
↓
N  5.096415°
W  5.487671°		 ← 608.44 m →
370 190 m²		 N  5.096415°
W  5.482178°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31769 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31838 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484764099121094 y=0.485816955566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484764099121094 × 216)
    floor (0.484764099121094 × 65536)
    floor (31769.5)     		tx = 31769
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.485816955566406 × 216)
    floor (0.485816955566406 × 65536)
    floor (31838.5)     		ty = 31838
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31769 / 31838 ti = "16/31769/31838"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31769/31838.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31769 ÷ 216
    31769 ÷ 65536     		x = 0.484756469726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31838 ÷ 216
    31838 ÷ 65536     		y = 0.485809326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484756469726562 × 2 - 1) × π
    -0.030487060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.09577793
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.485809326171875 × 2 - 1) × π
    0.02838134765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0891626332933044
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09577793} λ = -0.09577793}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0891626332933044))-π/2
    2×atan(1.09325844208987)-π/2
    2×0.829920527114936-π/2
    1.65984105422987-1.57079632675     		φ = 0.08904473
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09577793} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.487671°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.08904473 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.101887°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31769 KachelY 31838 -0.09577793 0.08904473 -5.487671 5.101887
    Oben rechts KachelX + 1 31770 KachelY 31838 -0.09568205 0.08904473 -5.482178 5.101887
    Unten links KachelX 31769 KachelY + 1 31839 -0.09577793 0.08894923 -5.487671 5.096415
    Unten rechts KachelX + 1 31770 KachelY + 1 31839 -0.09568205 0.08894923 -5.482178 5.096415
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.08904473-0.08894923) × R
    9.54999999999984e-05 × 6371000     		dl = 608.43049999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.08904473-0.08894923) × R
    9.54999999999984e-05 × 6371000     		dr = 608.43049999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09577793--0.09568205) × cos(0.08904473) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.996038136856925 × 6371000     		do = 608.431370035448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09577793--0.09568205) × cos(0.08894923) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.996046624853339 × 6371000     		du = 608.43655494062m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.08904473)-sin(0.08894923))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.996038136856925-0.996046624853339)×R²
    abs(-0.09568205--0.09577793)×8.48799641472997e-06×R²
    9.58799999999926e-05×8.48799641472997e-06×6371000²
    9.58799999999926e-05×8.48799641472997e-06×40589641000000     		ar = 370189.780294907m²