Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31766 / 31833
↖ ↑ ↗
← N  5.129244°
W  5.504151°		 ← 608.41 m → N  5.129244°
W  5.498657°		 →
↑
608.37 m
↓
↑
608.37 m
↓
N  5.123772°
W  5.504151°		 ← 608.41 m →
370 135 m²		 N  5.123772°
W  5.498657°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31766 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31833 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484718322753906 y=0.485740661621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484718322753906 × 216)
    floor (0.484718322753906 × 65536)
    floor (31766.5)     		tx = 31766
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.485740661621094 × 216)
    floor (0.485740661621094 × 65536)
    floor (31833.5)     		ty = 31833
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31766 / 31833 ti = "16/31766/31833"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31766/31833.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31766 ÷ 216
    31766 ÷ 65536     		x = 0.484710693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31833 ÷ 216
    31833 ÷ 65536     		y = 0.485733032226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484710693359375 × 2 - 1) × π
    -0.03057861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.09606555
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.485733032226562 × 2 - 1) × π
    0.028533935546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.089642002289505
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09606555} λ = -0.09606555}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.089642002289505))-π/2
    2×atan(1.09378264192437)-π/2
    2×0.830159256918411-π/2
    1.66031851383682-1.57079632675     		φ = 0.08952219
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09606555} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.504151°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.08952219 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.129244°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31766 KachelY 31833 -0.09606555 0.08952219 -5.504151 5.129244
    Oben rechts KachelX + 1 31767 KachelY 31833 -0.09596967 0.08952219 -5.498657 5.129244
    Unten links KachelX 31766 KachelY + 1 31834 -0.09606555 0.08942670 -5.504151 5.123772
    Unten rechts KachelX + 1 31767 KachelY + 1 31834 -0.09596967 0.08942670 -5.498657 5.123772
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.08952219-0.08942670) × R
    9.54900000000036e-05 × 6371000     		dl = 608.366790000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.08952219-0.08942670) × R
    9.54900000000036e-05 × 6371000     		dr = 608.366790000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09606555--0.09596967) × cos(0.08952219) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.995995564190757 × 6371000     		do = 608.405364459312m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09606555--0.09596967) × cos(0.08942670) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.9960040967101 × 6371000     		du = 608.410576561381m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.08952219)-sin(0.08942670))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995995564190757-0.9960040967101)×R²
    abs(-0.09596967--0.09606555)×8.53251934285204e-06×R²
    9.58799999999926e-05×8.53251934285204e-06×6371000²
    9.58799999999926e-05×8.53251934285204e-06×40589641000000     		ar = 370135.204311084m²