Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31765 / 31834
↖ ↑ ↗
← N  5.123772°
W  5.509644°		 ← 608.35 m → N  5.123772°
W  5.504151°		 →
↑
608.37 m
↓
↑
608.37 m
↓
N  5.118301°
W  5.509644°		 ← 608.35 m →
370 100 m²		 N  5.118301°
W  5.504151°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31765 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31834 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484703063964844 y=0.485755920410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484703063964844 × 216)
    floor (0.484703063964844 × 65536)
    floor (31765.5)     		tx = 31765
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.485755920410156 × 216)
    floor (0.485755920410156 × 65536)
    floor (31834.5)     		ty = 31834
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31765 / 31834 ti = "16/31765/31834"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31765/31834.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31765 ÷ 216
    31765 ÷ 65536     		x = 0.484695434570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31834 ÷ 216
    31834 ÷ 65536     		y = 0.485748291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484695434570312 × 2 - 1) × π
    -0.030609130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.09616142
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.485748291015625 × 2 - 1) × π
    0.02850341796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0895461284902649
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09616142} λ = -0.09616142}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0895461284902649))-π/2
    2×atan(1.0936777818537)-π/2
    2×0.830111511774468-π/2
    1.66022302354894-1.57079632675     		φ = 0.08942670
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09616142} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.509644°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.08942670 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.123772°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31765 KachelY 31834 -0.09616142 0.08942670 -5.509644 5.123772
    Oben rechts KachelX + 1 31766 KachelY 31834 -0.09606555 0.08942670 -5.504151 5.123772
    Unten links KachelX 31765 KachelY + 1 31835 -0.09616142 0.08933121 -5.509644 5.118301
    Unten rechts KachelX + 1 31766 KachelY + 1 31835 -0.09606555 0.08933121 -5.504151 5.118301
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.08942670-0.08933121) × R
    9.54900000000036e-05 × 6371000     		dl = 608.366790000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.08942670-0.08933121) × R
    9.54900000000036e-05 × 6371000     		dr = 608.366790000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09616142--0.09606555) × cos(0.08942670) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.9960040967101 × 6371000     		do = 608.347121140413m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09616142--0.09606555) × cos(0.08933121) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.996012620147539 × 6371000     		du = 608.352327151759m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.08942670)-sin(0.08933121))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9960040967101-0.996012620147539)×R²
    abs(-0.09606555--0.09616142)×8.5234374387344e-06×R²
    9.58699999999979e-05×8.5234374387344e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×8.5234374387344e-06×40589641000000     		ar = 370099.769157389m²