Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31765 / 31797
↖ ↑ ↗
← N  5.326175°
W  5.509644°		 ← 608.15 m → N  5.326175°
W  5.504151°		 →
↑
608.18 m
↓
↑
608.18 m
↓
N  5.320706°
W  5.509644°		 ← 608.16 m →
369 864 m²		 N  5.320706°
W  5.504151°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31765 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31797 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484703063964844 y=0.485191345214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484703063964844 × 216)
    floor (0.484703063964844 × 65536)
    floor (31765.5)     		tx = 31765
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.485191345214844 × 216)
    floor (0.485191345214844 × 65536)
    floor (31797.5)     		ty = 31797
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31765 / 31797 ti = "16/31765/31797"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31765/31797.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31765 ÷ 216
    31765 ÷ 65536     		x = 0.484695434570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31797 ÷ 216
    31797 ÷ 65536     		y = 0.485183715820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484695434570312 × 2 - 1) × π
    -0.030609130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.09616142
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.485183715820312 × 2 - 1) × π
    0.029632568359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0930934590621491
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09616142} λ = -0.09616142}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0930934590621491))-π/2
    2×atan(1.0975643078057)-π/2
    2×0.831877806192618-π/2
    1.66375561238524-1.57079632675     		φ = 0.09295929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09616142} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.509644°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.09295929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.326175°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31765 KachelY 31797 -0.09616142 0.09295929 -5.509644 5.326175
    Oben rechts KachelX + 1 31766 KachelY 31797 -0.09606555 0.09295929 -5.504151 5.326175
    Unten links KachelX 31765 KachelY + 1 31798 -0.09616142 0.09286383 -5.509644 5.320706
    Unten rechts KachelX + 1 31766 KachelY + 1 31798 -0.09606555 0.09286383 -5.504151 5.320706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.09295929-0.09286383) × R
    9.54600000000055e-05 × 6371000     		dl = 608.175660000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.09295929-0.09286383) × R
    9.54600000000055e-05 × 6371000     		dr = 608.175660000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09616142--0.09606555) × cos(0.09295929) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.995682395734642 × 6371000     		do = 608.150630119006m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09616142--0.09606555) × cos(0.09286383) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.995691252316818 × 6371000     		du = 608.156039611083m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.09295929)-sin(0.09286383))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995682395734642-0.995691252316818)×R²
    abs(-0.09606555--0.09616142)×8.85658217597562e-06×R²
    9.58699999999979e-05×8.85658217597562e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×8.85658217597562e-06×40589641000000     		ar = 369864.056093658m²