Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31763 / 31787
↖ ↑ ↗
← N  5.380867°
W  5.520630°		 ← 608.16 m → N  5.380867°
W  5.515136°		 →
↑
608.11 m
↓
↑
608.11 m
↓
N  5.375398°
W  5.520630°		 ← 608.17 m →
369 831 m²		 N  5.375398°
W  5.515136°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31763 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31787 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484672546386719 y=0.485038757324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484672546386719 × 216)
    floor (0.484672546386719 × 65536)
    floor (31763.5)     		tx = 31763
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.485038757324219 × 216)
    floor (0.485038757324219 × 65536)
    floor (31787.5)     		ty = 31787
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31763 / 31787 ti = "16/31763/31787"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31763/31787.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31763 ÷ 216
    31763 ÷ 65536     		x = 0.484664916992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31787 ÷ 216
    31787 ÷ 65536     		y = 0.485031127929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484664916992188 × 2 - 1) × π
    -0.030670166015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.09635317
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.485031127929688 × 2 - 1) × π
    0.029937744140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0940521970545502
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09635317} λ = -0.09635317}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0940521970545502))-π/2
    2×atan(1.09861708899671)-π/2
    2×0.832355084152845-π/2
    1.66471016830569-1.57079632675     		φ = 0.09391384
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09635317} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.520630°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.09391384 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.380867°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31763 KachelY 31787 -0.09635317 0.09391384 -5.520630 5.380867
    Oben rechts KachelX + 1 31764 KachelY 31787 -0.09625729 0.09391384 -5.515136 5.380867
    Unten links KachelX 31763 KachelY + 1 31788 -0.09635317 0.09381839 -5.520630 5.375398
    Unten rechts KachelX + 1 31764 KachelY + 1 31788 -0.09625729 0.09381839 -5.515136 5.375398
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.09391384-0.09381839) × R
    9.54499999999969e-05 × 6371000     		dl = 608.11194999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.09391384-0.09381839) × R
    9.54499999999969e-05 × 6371000     		dr = 608.11194999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09635317--0.09625729) × cos(0.09391384) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.995593335585351 × 6371000     		do = 608.15966252049m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09635317--0.09625729) × cos(0.09381839) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.995602281954991 × 6371000     		du = 608.165127423625m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.09391384)-sin(0.09381839))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995593335585351-0.995602281954991)×R²
    abs(-0.09625729--0.09635317)×8.94636963977291e-06×R²
    9.58800000000065e-05×8.94636963977291e-06×6371000²
    9.58800000000065e-05×8.94636963977291e-06×40589641000000     		ar = 369830.820203901m²