Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31762 / 31802
↖ ↑ ↗
← N  5.298827°
W  5.526123°		 ← 608.18 m → N  5.298827°
W  5.520630°		 →
↑
608.24 m
↓
↑
608.24 m
↓
N  5.293357°
W  5.526123°		 ← 608.18 m →
369 919 m²		 N  5.293357°
W  5.520630°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31762 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31802 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484657287597656 y=0.485267639160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484657287597656 × 216)
    floor (0.484657287597656 × 65536)
    floor (31762.5)     		tx = 31762
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.485267639160156 × 216)
    floor (0.485267639160156 × 65536)
    floor (31802.5)     		ty = 31802
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31762 / 31802 ti = "16/31762/31802"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31762/31802.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31762 ÷ 216
    31762 ÷ 65536     		x = 0.484649658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31802 ÷ 216
    31802 ÷ 65536     		y = 0.485260009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484649658203125 × 2 - 1) × π
    -0.03070068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.09644904
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.485260009765625 × 2 - 1) × π
    0.02947998046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0926140900659485
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09644904} λ = -0.09644904}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0926140900659485))-π/2
    2×atan(1.09703829559224)-π/2
    2×0.831639151256541-π/2
    1.66327830251308-1.57079632675     		φ = 0.09248198
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09644904} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.526123°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.09248198 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.298827°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31762 KachelY 31802 -0.09644904 0.09248198 -5.526123 5.298827
    Oben rechts KachelX + 1 31763 KachelY 31802 -0.09635317 0.09248198 -5.520630 5.298827
    Unten links KachelX 31762 KachelY + 1 31803 -0.09644904 0.09238651 -5.526123 5.293357
    Unten rechts KachelX + 1 31763 KachelY + 1 31803 -0.09635317 0.09238651 -5.520630 5.293357
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.09248198-0.09238651) × R
    9.54700000000003e-05 × 6371000     		dl = 608.239370000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.09248198-0.09238651) × R
    9.54700000000003e-05 × 6371000     		dr = 608.239370000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09644904--0.09635317) × cos(0.09248198) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.995726588834741 × 6371000     		do = 608.177622724065m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09644904--0.09635317) × cos(0.09238651) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.995735400970974 × 6371000     		du = 608.183005069104m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.09248198)-sin(0.09238651))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995726588834741-0.995735400970974)×R²
    abs(-0.09635317--0.09644904)×8.81213623327159e-06×R²
    9.58699999999979e-05×8.81213623327159e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×8.81213623327159e-06×40589641000000     		ar = 369919.211251809m²