Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31762 / 31790
↖ ↑ ↗
← N  5.364459°
W  5.526123°		 ← 608.11 m → N  5.364459°
W  5.520630°		 →
↑
608.11 m
↓
↑
608.11 m
↓
N  5.358991°
W  5.526123°		 ← 608.12 m →
369 802 m²		 N  5.358991°
W  5.520630°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31762 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31790 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484657287597656 y=0.485084533691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484657287597656 × 216)
    floor (0.484657287597656 × 65536)
    floor (31762.5)     		tx = 31762
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.485084533691406 × 216)
    floor (0.485084533691406 × 65536)
    floor (31790.5)     		ty = 31790
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31762 / 31790 ti = "16/31762/31790"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31762/31790.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31762 ÷ 216
    31762 ÷ 65536     		x = 0.484649658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31790 ÷ 216
    31790 ÷ 65536     		y = 0.485076904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484649658203125 × 2 - 1) × π
    -0.03070068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.09644904
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.485076904296875 × 2 - 1) × π
    0.02984619140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0937645756568298
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09644904} λ = -0.09644904}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0937645756568298))-π/2
    2×atan(1.0983011486518)-π/2
    2×0.832211905250554-π/2
    1.66442381050111-1.57079632675     		φ = 0.09362748
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09644904} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.526123°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.09362748 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 5.364459°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31762 KachelY 31790 -0.09644904 0.09362748 -5.526123 5.364459
    Oben rechts KachelX + 1 31763 KachelY 31790 -0.09635317 0.09362748 -5.520630 5.364459
    Unten links KachelX 31762 KachelY + 1 31791 -0.09644904 0.09353203 -5.526123 5.358991
    Unten rechts KachelX + 1 31763 KachelY + 1 31791 -0.09635317 0.09353203 -5.520630 5.358991
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.09362748-0.09353203) × R
    9.54499999999969e-05 × 6371000     		dl = 608.11194999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.09362748-0.09353203) × R
    9.54499999999969e-05 × 6371000     		dr = 608.11194999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09644904--0.09635317) × cos(0.09362748) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.995620148417188 × 6371000     		do = 608.11261021879m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09644904--0.09635317) × cos(0.09353203) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.995629067573725 × 6371000     		du = 608.118057930521m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.09362748)-sin(0.09353203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.995620148417188-0.995629067573725)×R²
    abs(-0.09635317--0.09644904)×8.91915653677966e-06×R²
    9.58699999999979e-05×8.91915653677966e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×8.91915653677966e-06×40589641000000     		ar = 369802.201909806m²