Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31229 / 32245
↖ ↑ ↗
← N  2.871722°
W  8.453980°		 ← 610.08 m → N  2.871722°
W  8.448486°		 →
↑
610.02 m
↓
↑
610.02 m
↓
N  2.866236°
W  8.453980°		 ← 610.09 m →
372 167 m²		 N  2.866236°
W  8.448486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31229 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32245 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476524353027344 y=0.492027282714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476524353027344 × 216)
    floor (0.476524353027344 × 65536)
    floor (31229.5)     		tx = 31229
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.492027282714844 × 216)
    floor (0.492027282714844 × 65536)
    floor (32245.5)     		ty = 32245
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31229 / 32245 ti = "16/31229/32245"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31229/32245.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31229 ÷ 216
    31229 ÷ 65536     		x = 0.476516723632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32245 ÷ 216
    32245 ÷ 65536     		y = 0.492019653320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476516723632812 × 2 - 1) × π
    -0.046966552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14754978
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.492019653320312 × 2 - 1) × π
    0.015960693359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0501419970025787
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14754978} λ = -0.14754978}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0501419970025787))-π/2
    2×atan(1.05142038431958)-π/2
    2×0.810458662830237-π/2
    1.62091732566047-1.57079632675     		φ = 0.05012100
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14754978} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.453980°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05012100 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.871722°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31229 KachelY 32245 -0.14754978 0.05012100 -8.453980 2.871722
    Oben rechts KachelX + 1 31230 KachelY 32245 -0.14745390 0.05012100 -8.448486 2.871722
    Unten links KachelX 31229 KachelY + 1 32246 -0.14754978 0.05002525 -8.453980 2.866236
    Unten rechts KachelX + 1 31230 KachelY + 1 32246 -0.14745390 0.05002525 -8.448486 2.866236
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05012100-0.05002525) × R
    9.57499999999986e-05 × 6371000     		dl = 610.023249999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05012100-0.05002525) × R
    9.57499999999986e-05 × 6371000     		dr = 610.023249999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14754978--0.14745390) × cos(0.05012100) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.998744205604148 × 6371000     		do = 610.084376134671m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14754978--0.14745390) × cos(0.05002525) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.998748998102559 × 6371000     		du = 610.087303639419m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05012100)-sin(0.05002525))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998744205604148-0.998748998102559)×R²
    abs(-0.14745390--0.14754978)×4.79249841145446e-06×R²
    9.58799999999926e-05×4.79249841145446e-06×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.79249841145446e-06×40589641000000     		ar = 372166.547111193m²