Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31138 / 32160
↖ ↑ ↗
← N  3.337954°
W  8.953857°		 ← 609.75 m → N  3.337954°
W  8.948364°		 →
↑
609.77 m
↓
↑
609.77 m
↓
N  3.332470°
W  8.953857°		 ← 609.75 m →
371 808 m²		 N  3.332470°
W  8.948364°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32160 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475135803222656 y=0.490730285644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475135803222656 × 216)
    floor (0.475135803222656 × 65536)
    floor (31138.5)     		tx = 31138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.490730285644531 × 216)
    floor (0.490730285644531 × 65536)
    floor (32160.5)     		ty = 32160
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31138 / 32160 ti = "16/31138/32160"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31138/32160.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31138 ÷ 216
    31138 ÷ 65536     		x = 0.475128173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32160 ÷ 216
    32160 ÷ 65536     		y = 0.49072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475128173828125 × 2 - 1) × π
    -0.04974365234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15627429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.49072265625 × 2 - 1) × π
    0.0185546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0582912699379883
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15627429} λ = -0.15627429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0582912699379883))-π/2
    2×atan(1.06002370378788)-π/2
    2×0.814527306849969-π/2
    1.62905461369994-1.57079632675     		φ = 0.05825829
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15627429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.953857°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05825829 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.337954°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31138 KachelY 32160 -0.15627429 0.05825829 -8.953857 3.337954
    Oben rechts KachelX + 1 31139 KachelY 32160 -0.15617842 0.05825829 -8.948364 3.337954
    Unten links KachelX 31138 KachelY + 1 32161 -0.15627429 0.05816258 -8.953857 3.332470
    Unten rechts KachelX + 1 31139 KachelY + 1 32161 -0.15617842 0.05816258 -8.948364 3.332470
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05825829-0.05816258) × R
    9.57099999999989e-05 × 6371000     		dl = 609.768409999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05825829-0.05816258) × R
    9.57099999999989e-05 × 6371000     		dr = 609.768409999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15627429--0.15617842) × cos(0.05825829) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.998303465745026 × 6371000     		do = 609.751547625662m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15627429--0.15617842) × cos(0.05816258) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.998309033919929 × 6371000     		du = 609.754948598794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05825829)-sin(0.05816258))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998303465745026-0.998309033919929)×R²
    abs(-0.15617842--0.15627429)×5.56817490338091e-06×R²
    9.58699999999979e-05×5.56817490338091e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×5.56817490338091e-06×40589641000000     		ar = 371808.268877561m²