Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31137 / 32161
↖ ↑ ↗
← N  3.332470°
W  8.959351°		 ← 609.82 m → N  3.332470°
W  8.953857°		 →
↑
609.83 m
↓
↑
609.83 m
↓
N  3.326986°
W  8.959351°		 ← 609.82 m →
371 888 m²		 N  3.326986°
W  8.953857°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31137 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32161 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475120544433594 y=0.490745544433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475120544433594 × 216)
    floor (0.475120544433594 × 65536)
    floor (31137.5)     		tx = 31137
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.490745544433594 × 216)
    floor (0.490745544433594 × 65536)
    floor (32161.5)     		ty = 32161
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31137 / 32161 ti = "16/31137/32161"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31137/32161.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31137 ÷ 216
    31137 ÷ 65536     		x = 0.475112915039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32161 ÷ 216
    32161 ÷ 65536     		y = 0.490737915039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475112915039062 × 2 - 1) × π
    -0.049774169921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15637017
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.490737915039062 × 2 - 1) × π
    0.018524169921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0581953961387482
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15637017} λ = -0.15637017}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0581953961387482))-π/2
    2×atan(1.05992208015971)-π/2
    2×0.814479451143434-π/2
    1.62895890228687-1.57079632675     		φ = 0.05816258
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15637017} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.959351°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05816258 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.332470°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31137 KachelY 32161 -0.15637017 0.05816258 -8.959351 3.332470
    Oben rechts KachelX + 1 31138 KachelY 32161 -0.15627429 0.05816258 -8.953857 3.332470
    Unten links KachelX 31137 KachelY + 1 32162 -0.15637017 0.05806686 -8.959351 3.326986
    Unten rechts KachelX + 1 31138 KachelY + 1 32162 -0.15627429 0.05806686 -8.953857 3.326986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05816258-0.05806686) × R
    9.57200000000005e-05 × 6371000     		dl = 609.832120000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05816258-0.05806686) × R
    9.57200000000005e-05 × 6371000     		dr = 609.832120000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15637017--0.15627429) × cos(0.05816258) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.998309033919929 × 6371000     		do = 609.818550867312m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15637017--0.15627429) × cos(0.05806686) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.998314593530261 × 6371000     		du = 609.821946963511m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05816258)-sin(0.05806686))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998309033919929-0.998314593530261)×R²
    abs(-0.15627429--0.15637017)×5.55961033155139e-06×R²
    9.58799999999926e-05×5.55961033155139e-06×6371000²
    9.58799999999926e-05×5.55961033155139e-06×40589641000000     		ar = 371887.975498948m²