Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31136 / 32162
↖ ↑ ↗
← N  3.326986°
W  8.964844°		 ← 609.76 m → N  3.326986°
W  8.959351°		 →
↑
609.77 m
↓
↑
609.77 m
↓
N  3.321502°
W  8.964844°		 ← 609.76 m →
371 812 m²		 N  3.321502°
W  8.959351°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31136 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32162 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475105285644531 y=0.490760803222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475105285644531 × 216)
    floor (0.475105285644531 × 65536)
    floor (31136.5)     		tx = 31136
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.490760803222656 × 216)
    floor (0.490760803222656 × 65536)
    floor (32162.5)     		ty = 32162
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31136 / 32162 ti = "16/31136/32162"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31136/32162.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31136 ÷ 216
    31136 ÷ 65536     		x = 0.47509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32162 ÷ 216
    32162 ÷ 65536     		y = 0.490753173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47509765625 × 2 - 1) × π
    -0.0498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15646604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.490753173828125 × 2 - 1) × π
    0.01849365234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0580995223395081
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15646604} λ = -0.15646604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0580995223395081))-π/2
    2×atan(1.05982046627412)-π/2
    2×0.814431595170192-π/2
    1.62886319034038-1.57079632675     		φ = 0.05806686
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15646604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.964844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05806686 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.326986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31136 KachelY 32162 -0.15646604 0.05806686 -8.964844 3.326986
    Oben rechts KachelX + 1 31137 KachelY 32162 -0.15637017 0.05806686 -8.959351 3.326986
    Unten links KachelX 31136 KachelY + 1 32163 -0.15646604 0.05797115 -8.964844 3.321502
    Unten rechts KachelX + 1 31137 KachelY + 1 32163 -0.15637017 0.05797115 -8.959351 3.321502
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05806686-0.05797115) × R
    9.57099999999989e-05 × 6371000     		dl = 609.768409999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05806686-0.05797115) × R
    9.57099999999989e-05 × 6371000     		dr = 609.768409999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15646604--0.15637017) × cos(0.05806686) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.998314593530261 × 6371000     		do = 609.758344340791m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15646604--0.15637017) × cos(0.05797115) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.998320143414329 × 6371000     		du = 609.761734142105m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05806686)-sin(0.05797115))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998314593530261-0.998320143414329)×R²
    abs(-0.15637017--0.15646604)×5.54988406864521e-06×R²
    9.58699999999979e-05×5.54988406864521e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×5.54988406864521e-06×40589641000000     		ar = 371812.409893639m²