Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31121 / 32209
↖ ↑ ↗
← N  3.069210°
W  9.047241°		 ← 609.98 m → N  3.069210°
W  9.041748°		 →
↑
609.96 m
↓
↑
609.96 m
↓
N  3.063725°
W  9.047241°		 ← 609.98 m →
372 061 m²		 N  3.063725°
W  9.041748°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31121 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32209 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474876403808594 y=0.491477966308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474876403808594 × 216)
    floor (0.474876403808594 × 65536)
    floor (31121.5)     		tx = 31121
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.491477966308594 × 216)
    floor (0.491477966308594 × 65536)
    floor (32209.5)     		ty = 32209
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31121 / 32209 ti = "16/31121/32209"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31121/32209.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31121 ÷ 216
    31121 ÷ 65536     		x = 0.474868774414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32209 ÷ 216
    32209 ÷ 65536     		y = 0.491470336914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474868774414062 × 2 - 1) × π
    -0.050262451171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15790415
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.491470336914062 × 2 - 1) × π
    0.017059326171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0535934537752228
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15790415} λ = -0.15790415}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0535934537752228))-π/2
    2×atan(1.0550555860881)-π/2
    2×0.812182071635128-π/2
    1.62436414327026-1.57079632675     		φ = 0.05356782
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15790415} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.047241°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05356782 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.069210°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31121 KachelY 32209 -0.15790415 0.05356782 -9.047241 3.069210
    Oben rechts KachelX + 1 31122 KachelY 32209 -0.15780827 0.05356782 -9.041748 3.069210
    Unten links KachelX 31121 KachelY + 1 32210 -0.15790415 0.05347208 -9.047241 3.063725
    Unten rechts KachelX + 1 31122 KachelY + 1 32210 -0.15780827 0.05347208 -9.041748 3.063725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05356782-0.05347208) × R
    9.57400000000039e-05 × 6371000     		dl = 609.959540000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05356782-0.05347208) × R
    9.57400000000039e-05 × 6371000     		dr = 609.959540000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15790415--0.15780827) × cos(0.05356782) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.998565587384714 × 6371000     		do = 609.975266930975m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15790415--0.15780827) × cos(0.05347208) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.998570708938891 × 6371000     		du = 609.978395439924m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05356782)-sin(0.05347208))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998565587384714-0.998570708938891)×R²
    abs(-0.15780827--0.15790415)×5.12155417653481e-06×R²
    9.58799999999926e-05×5.12155417653481e-06×6371000²
    9.58799999999926e-05×5.12155417653481e-06×40589641000000     		ar = 372061.187644738m²