Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31096 / 32152
↖ ↑ ↗
← N  3.381824°
W  9.184570°		 ← 609.72 m → N  3.381824°
W  9.179077°		 →
↑
609.77 m
↓
↑
609.77 m
↓
N  3.376340°
W  9.184570°		 ← 609.73 m →
371 792 m²		 N  3.376340°
W  9.179077°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31096 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32152 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474494934082031 y=0.490608215332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474494934082031 × 216)
    floor (0.474494934082031 × 65536)
    floor (31096.5)     		tx = 31096
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.490608215332031 × 216)
    floor (0.490608215332031 × 65536)
    floor (32152.5)     		ty = 32152
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31096 / 32152 ti = "16/31096/32152"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31096/32152.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31096 ÷ 216
    31096 ÷ 65536     		x = 0.4744873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32152 ÷ 216
    32152 ÷ 65536     		y = 0.4906005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4744873046875 × 2 - 1) × π
    -0.051025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.16030099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4906005859375 × 2 - 1) × π
    0.018798828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0590582603319092
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16030099} λ = -0.16030099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0590582603319092))-π/2
    2×atan(1.06083704365808)-π/2
    2×0.814910142848392-π/2
    1.62982028569678-1.57079632675     		φ = 0.05902396
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16030099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.184570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05902396 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.381824°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31096 KachelY 32152 -0.16030099 0.05902396 -9.184570 3.381824
    Oben rechts KachelX + 1 31097 KachelY 32152 -0.16020512 0.05902396 -9.179077 3.381824
    Unten links KachelX 31096 KachelY + 1 32153 -0.16030099 0.05892825 -9.184570 3.376340
    Unten rechts KachelX + 1 31097 KachelY + 1 32153 -0.16020512 0.05892825 -9.179077 3.376340
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05902396-0.05892825) × R
    9.57099999999989e-05 × 6371000     		dl = 609.768409999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05902396-0.05892825) × R
    9.57099999999989e-05 × 6371000     		dr = 609.768409999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16030099--0.16020512) × cos(0.05902396) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.998258591724924 × 6371000     		do = 609.724139122994m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16030099--0.16020512) × cos(0.05892825) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.998264233056342 × 6371000     		du = 609.72758477923m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05902396)-sin(0.05892825))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998258591724924-0.998264233056342)×R²
    abs(-0.16020512--0.16030099)×5.64133141800482e-06×R²
    9.58699999999979e-05×5.64133141800482e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×5.64133141800482e-06×40589641000000     		ar = 371791.569661604m²