Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 310 / 149
↖ ↑ ↗
← N 59.888937°
E 37.968750°		 ← 39.223 km → N 59.888937°
E 38.671875°		 →
↑
39.432 km
↓
↑
39.432 km
↓
N 59.534318°
E 37.968750°		 ← 39.641 km →
1 554.88 km²		 N 59.534318°
E 38.671875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 310 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 149 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6064453125 y=0.2919921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6064453125 × 29)
    floor (0.6064453125 × 512)
    floor (310.5)     		tx = 310
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2919921875 × 29)
    floor (0.2919921875 × 512)
    floor (149.5)     		ty = 149
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 310 / 149 ti = "9/310/149"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/310/149.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 310 ÷ 29
    310 ÷ 512     		x = 0.60546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 149 ÷ 29
    149 ÷ 512     		y = 0.291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60546875 × 2 - 1) × π
    0.2109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.66267970
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.291015625 × 2 - 1) × π
    0.41796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.31308755439258
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.66267970} λ = 0.66267970}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31308755439258))-π/2
    2×atan(3.71763440879247)-π/2
    2×1.30802773057187-π/2
    2.61605546114375-1.57079632675     		φ = 1.04525913
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.66267970} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.968750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04525913 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.888937°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 310 KachelY 149 0.66267970 1.04525913 37.968750 59.888937
    Oben rechts KachelX + 1 311 KachelY 149 0.67495155 1.04525913 38.671875 59.888937
    Unten links KachelX 310 KachelY + 1 150 0.66267970 1.03906987 37.968750 59.534318
    Unten rechts KachelX + 1 311 KachelY + 1 150 0.67495155 1.03906987 38.671875 59.534318
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04525913-1.03906987) × R
    0.00618925999999997 × 6371000     		dl = 39431.7754599998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04525913-1.03906987) × R
    0.00618925999999997 × 6371000     		dr = 39431.7754599998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.66267970-0.67495155) × cos(1.04525913) × R
    0.01227185 × 0.501677781579305 × 6371000     		do = 39223.1537767611m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.66267970-0.67495155) × cos(1.03906987) × R
    0.01227185 × 0.507022186184862 × 6371000     		du = 39641.0004731587m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04525913)-sin(1.03906987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.501677781579305-0.507022186184862)×R²
    abs(0.67495155-0.66267970)×0.0053444046055563×R²
    0.01227185×0.0053444046055563×6371000²
    0.01227185×0.0053444046055563×40589641000000     		ar = 1554881774.6795m²