Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30950 / 26534
↖ ↑ ↗
← N 32.370683°
W  9.986572°		 ← 515.93 m → N 32.370683°
W  9.981079°		 →
↑
515.92 m
↓
↑
515.92 m
↓
N 32.366043°
W  9.986572°		 ← 515.95 m →
266 185 m²		 N 32.366043°
W  9.981079°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30950 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26534 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472267150878906 y=0.404884338378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472267150878906 × 216)
    floor (0.472267150878906 × 65536)
    floor (30950.5)     		tx = 30950
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.404884338378906 × 216)
    floor (0.404884338378906 × 65536)
    floor (26534.5)     		ty = 26534
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30950 / 26534 ti = "16/30950/26534"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30950/26534.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30950 ÷ 216
    30950 ÷ 65536     		x = 0.472259521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26534 ÷ 216
    26534 ÷ 65536     		y = 0.404876708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472259521484375 × 2 - 1) × π
    -0.05548095703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.17429857
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.404876708984375 × 2 - 1) × π
    0.19024658203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.59767726446286
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17429857} λ = -0.17429857}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.59767726446286))-π/2
    2×atan(1.81789141175346)-π/2
    2×1.06788566195654-π/2
    2.13577132391308-1.57079632675     		φ = 0.56497500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17429857} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.986572°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56497500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.370683°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30950 KachelY 26534 -0.17429857 0.56497500 -9.986572 32.370683
    Oben rechts KachelX + 1 30951 KachelY 26534 -0.17420269 0.56497500 -9.981079 32.370683
    Unten links KachelX 30950 KachelY + 1 26535 -0.17429857 0.56489402 -9.986572 32.366043
    Unten rechts KachelX + 1 30951 KachelY + 1 26535 -0.17420269 0.56489402 -9.981079 32.366043
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56497500-0.56489402) × R
    8.09800000000083e-05 × 6371000     		dl = 515.923580000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56497500-0.56489402) × R
    8.09800000000083e-05 × 6371000     		dr = 515.923580000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17429857--0.17420269) × cos(0.56497500) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.844601985554818 × 6371000     		do = 515.926372887209m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17429857--0.17420269) × cos(0.56489402) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.84464533904832 × 6371000     		du = 515.952855432878m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56497500)-sin(0.56489402))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.844601985554818-0.84464533904832)×R²
    abs(-0.17420269--0.17429857)×4.33534935012636e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.33534935012636e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.33534935012636e-05×40589641000000     		ar = 266185.412946992m²