Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30949 / 26535
↖ ↑ ↗
← N 32.366043°
W  9.992065°		 ← 515.90 m → N 32.366043°
W  9.986572°		 →
↑
515.92 m
↓
↑
515.92 m
↓
N 32.361403°
W  9.992065°		 ← 515.93 m →
266 171 m²		 N 32.361403°
W  9.986572°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30949 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26535 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472251892089844 y=0.404899597167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472251892089844 × 216)
    floor (0.472251892089844 × 65536)
    floor (30949.5)     		tx = 30949
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.404899597167969 × 216)
    floor (0.404899597167969 × 65536)
    floor (26535.5)     		ty = 26535
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30949 / 26535 ti = "16/30949/26535"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30949/26535.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30949 ÷ 216
    30949 ÷ 65536     		x = 0.472244262695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26535 ÷ 216
    26535 ÷ 65536     		y = 0.404891967773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472244262695312 × 2 - 1) × π
    -0.055511474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.17439444
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.404891967773438 × 2 - 1) × π
    0.190216064453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.59758139066362
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17439444} λ = -0.17439444}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.59758139066362))-π/2
    2×atan(1.81771713195177)-π/2
    2×1.06784517331677-π/2
    2.13569034663354-1.57079632675     		φ = 0.56489402
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17439444} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.992065°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56489402 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.366043°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30949 KachelY 26535 -0.17439444 0.56489402 -9.992065 32.366043
    Oben rechts KachelX + 1 30950 KachelY 26535 -0.17429857 0.56489402 -9.986572 32.366043
    Unten links KachelX 30949 KachelY + 1 26536 -0.17439444 0.56481304 -9.992065 32.361403
    Unten rechts KachelX + 1 30950 KachelY + 1 26536 -0.17429857 0.56481304 -9.986572 32.361403
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56489402-0.56481304) × R
    8.09800000000083e-05 × 6371000     		dl = 515.923580000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56489402-0.56481304) × R
    8.09800000000083e-05 × 6371000     		dr = 515.923580000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17439444--0.17429857) × cos(0.56489402) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.84464533904832 × 6371000     		do = 515.899043078206m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17439444--0.17429857) × cos(0.56481304) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.844688687002839 × 6371000     		du = 515.925519478681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56489402)-sin(0.56481304))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.84464533904832-0.844688687002839)×R²
    abs(-0.17429857--0.17439444)×4.33479545195459e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.33479545195459e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.33479545195459e-05×40589641000000     		ar = 266171.311268437m²