Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30895 / 26541
↖ ↑ ↗
← N 32.338200°
W 10.288697°		 ← 516.11 m → N 32.338200°
W 10.283203°		 →
↑
516.11 m
↓
↑
516.11 m
↓
N 32.333559°
W 10.288697°		 ← 516.14 m →
266 380 m²		 N 32.333559°
W 10.283203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30895 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26541 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471427917480469 y=0.404991149902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471427917480469 × 216)
    floor (0.471427917480469 × 65536)
    floor (30895.5)     		tx = 30895
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.404991149902344 × 216)
    floor (0.404991149902344 × 65536)
    floor (26541.5)     		ty = 26541
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30895 / 26541 ti = "16/30895/26541"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30895/26541.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30895 ÷ 216
    30895 ÷ 65536     		x = 0.471420288085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26541 ÷ 216
    26541 ÷ 65536     		y = 0.404983520507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471420288085938 × 2 - 1) × π
    -0.057159423828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.17957163
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.404983520507812 × 2 - 1) × π
    0.190032958984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.597006147868179
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17957163} λ = -0.17957163}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.597006147868179))-π/2
    2×atan(1.81667180395499)-π/2
    2×1.06760219784398-π/2
    2.13520439568796-1.57079632675     		φ = 0.56440807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17957163} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.288697°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56440807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.338200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30895 KachelY 26541 -0.17957163 0.56440807 -10.288697 32.338200
    Oben rechts KachelX + 1 30896 KachelY 26541 -0.17947575 0.56440807 -10.283203 32.338200
    Unten links KachelX 30895 KachelY + 1 26542 -0.17957163 0.56432706 -10.288697 32.333559
    Unten rechts KachelX + 1 30896 KachelY + 1 26542 -0.17947575 0.56432706 -10.283203 32.333559
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56440807-0.56432706) × R
    8.1010000000048e-05 × 6371000     		dl = 516.114710000306m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56440807-0.56432706) × R
    8.1010000000048e-05 × 6371000     		dr = 516.114710000306m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17957163--0.17947575) × cos(0.56440807) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.844905381124869 × 6371000     		do = 516.1117025202m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17957163--0.17947575) × cos(0.56432706) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.844948711880161 × 6371000     		du = 516.1381711762m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56440807)-sin(0.56432706))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.844905381124869-0.844948711880161)×R²
    abs(-0.17947575--0.17957163)×4.33307552917261e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.33307552917261e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.33307552917261e-05×40589641000000     		ar = 266379.67225094m²