Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30815 / 26595
↖ ↑ ↗
← N 32.087229°
W 10.728149°		 ← 517.48 m → N 32.087229°
W 10.722656°		 →
↑
517.52 m
↓
↑
517.52 m
↓
N 32.082575°
W 10.728149°		 ← 517.51 m →
267 813 m²		 N 32.082575°
W 10.722656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30815 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26595 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470207214355469 y=0.405815124511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470207214355469 × 216)
    floor (0.470207214355469 × 65536)
    floor (30815.5)     		tx = 30815
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405815124511719 × 216)
    floor (0.405815124511719 × 65536)
    floor (26595.5)     		ty = 26595
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30815 / 26595 ti = "16/30815/26595"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30815/26595.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30815 ÷ 216
    30815 ÷ 65536     		x = 0.470199584960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26595 ÷ 216
    26595 ÷ 65536     		y = 0.405807495117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470199584960938 × 2 - 1) × π
    -0.059600830078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.18724153
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.405807495117188 × 2 - 1) × π
    0.188385009765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.591828962709213
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18724153} λ = -0.18724153}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.591828962709213))-π/2
    2×atan(1.80729086204277)-π/2
    2×1.06541205779039-π/2
    2.13082411558079-1.57079632675     		φ = 0.56002779
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18724153} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.728149°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56002779 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.087229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30815 KachelY 26595 -0.18724153 0.56002779 -10.728149 32.087229
    Oben rechts KachelX + 1 30816 KachelY 26595 -0.18714566 0.56002779 -10.722656 32.087229
    Unten links KachelX 30815 KachelY + 1 26596 -0.18724153 0.55994656 -10.728149 32.082575
    Unten rechts KachelX + 1 30816 KachelY + 1 26596 -0.18714566 0.55994656 -10.722656 32.082575
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56002779-0.55994656) × R
    8.12300000000432e-05 × 6371000     		dl = 517.516330000275m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56002779-0.55994656) × R
    8.12300000000432e-05 × 6371000     		dr = 517.516330000275m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18724153--0.18714566) × cos(0.56002779) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.847240349021817 × 6371000     		do = 517.484043433046m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18724153--0.18714566) × cos(0.55994656) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.84728349639401 × 6371000     		du = 517.510397320289m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56002779)-sin(0.55994656))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.847240349021817-0.84728349639401)×R²
    abs(-0.18714566--0.18724153)×4.31473721926867e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.31473721926867e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.31473721926867e-05×40589641000000     		ar = 267813.262421804m²