Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30808 / 26584
↖ ↑ ↗
← N 32.138409°
W 10.766602°		 ← 517.25 m → N 32.138409°
W 10.761108°		 →
↑
517.26 m
↓
↑
517.26 m
↓
N 32.133757°
W 10.766602°		 ← 517.27 m →
267 559 m²		 N 32.133757°
W 10.761108°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30808 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26584 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470100402832031 y=0.405647277832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470100402832031 × 216)
    floor (0.470100402832031 × 65536)
    floor (30808.5)     		tx = 30808
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405647277832031 × 216)
    floor (0.405647277832031 × 65536)
    floor (26584.5)     		ty = 26584
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30808 / 26584 ti = "16/30808/26584"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30808/26584.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30808 ÷ 216
    30808 ÷ 65536     		x = 0.4700927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26584 ÷ 216
    26584 ÷ 65536     		y = 0.4056396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4700927734375 × 2 - 1) × π
    -0.059814453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.18791265
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4056396484375 × 2 - 1) × π
    0.188720703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.592883574500854
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18791265} λ = -0.18791265}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.592883574500854))-π/2
    2×atan(1.8091978576901)-π/2
    2×1.0658586874454-π/2
    2.13171737489081-1.57079632675     		φ = 0.56092105
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18791265} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.766602°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56092105 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.138409°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30808 KachelY 26584 -0.18791265 0.56092105 -10.766602 32.138409
    Oben rechts KachelX + 1 30809 KachelY 26584 -0.18781677 0.56092105 -10.761108 32.138409
    Unten links KachelX 30808 KachelY + 1 26585 -0.18791265 0.56083986 -10.766602 32.133757
    Unten rechts KachelX + 1 30809 KachelY + 1 26585 -0.18781677 0.56083986 -10.761108 32.133757
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56092105-0.56083986) × R
    8.11900000000643e-05 × 6371000     		dl = 517.261490000409m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56092105-0.56083986) × R
    8.11900000000643e-05 × 6371000     		dr = 517.261490000409m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18791265--0.18781677) × cos(0.56092105) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.846765502657742 × 6371000     		do = 517.247960511386m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18791265--0.18781677) × cos(0.56083986) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.84680869021372 × 6371000     		du = 517.274341693873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56092105)-sin(0.56083986))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.846765502657742-0.84680869021372)×R²
    abs(-0.18781677--0.18791265)×4.31875559776529e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.31875559776529e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.31875559776529e-05×40589641000000     		ar = 267559.273885838m²