Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30744 / 26648
↖ ↑ ↗
← N 31.840232°
W 11.118164°		 ← 518.88 m → N 31.840232°
W 11.112671°		 →
↑
518.85 m
↓
↑
518.85 m
↓
N 31.835566°
W 11.118164°		 ← 518.90 m →
269 229 m²		 N 31.835566°
W 11.112671°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30744 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26648 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469123840332031 y=0.406623840332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469123840332031 × 216)
    floor (0.469123840332031 × 65536)
    floor (30744.5)     		tx = 30744
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406623840332031 × 216)
    floor (0.406623840332031 × 65536)
    floor (26648.5)     		ty = 26648
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30744 / 26648 ti = "16/30744/26648"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30744/26648.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30744 ÷ 216
    30744 ÷ 65536     		x = 0.4691162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26648 ÷ 216
    26648 ÷ 65536     		y = 0.4066162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4691162109375 × 2 - 1) × π
    -0.061767578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.19404857
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4066162109375 × 2 - 1) × π
    0.186767578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.586747651349487
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19404857} λ = -0.19404857}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.586747651349487))-π/2
    2×atan(1.7981307468631)-π/2
    2×1.06325661071836-π/2
    2.12651322143673-1.57079632675     		φ = 0.55571689
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19404857} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.118164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55571689 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.840232°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30744 KachelY 26648 -0.19404857 0.55571689 -11.118164 31.840232
    Oben rechts KachelX + 1 30745 KachelY 26648 -0.19395270 0.55571689 -11.112671 31.840232
    Unten links KachelX 30744 KachelY + 1 26649 -0.19404857 0.55563545 -11.118164 31.835566
    Unten rechts KachelX + 1 30745 KachelY + 1 26649 -0.19395270 0.55563545 -11.112671 31.835566
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55571689-0.55563545) × R
    8.14399999999882e-05 × 6371000     		dl = 518.854239999925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55571689-0.55563545) × R
    8.14399999999882e-05 × 6371000     		dr = 518.854239999925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19404857--0.19395270) × cos(0.55571689) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.849522461524508 × 6371000     		do = 518.877929839454m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19404857--0.19395270) × cos(0.55563545) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.84956542257876 × 6371000     		du = 518.904169925977m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55571689)-sin(0.55563545))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849522461524508-0.84956542257876)×R²
    abs(-0.19395270--0.19404857)×4.29610542523884e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.29610542523884e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.29610542523884e-05×40589641000000     		ar = 269228.821478639m²