Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30729 / 26617
N 31.984783°
W 11.200562°
← 518.12 m → N 31.984783°
W 11.195068°

518.09 m

518.09 m
N 31.980123°
W 11.200562°
← 518.14 m →
268 438 m²
N 31.980123°
W 11.195068°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30729 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26617 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468894958496094 y=0.406150817871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468894958496094 × 216)
    floor (0.468894958496094 × 65536)
    floor (30729.5)
    tx = 30729
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406150817871094 × 216)
    floor (0.406150817871094 × 65536)
    floor (26617.5)
    ty = 26617
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30729 / 26617 ti = "16/30729/26617"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30729/26617.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30729 ÷ 216
    30729 ÷ 65536
    x = 0.468887329101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26617 ÷ 216
    26617 ÷ 65536
    y = 0.406143188476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.468887329101562 × 2 - 1) × π
    -0.062225341796875 × 3.1415926535
    Λ = -0.19548668
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.406143188476562 × 2 - 1) × π
    0.187713623046875 × 3.1415926535
    Φ = 0.589719739125931
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19548668} λ = -0.19548668}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.589719739125931))-π/2
    2×atan(1.80348289886931)-π/2
    2×1.06451804785447-π/2
    2.12903609570894-1.57079632675
    φ = 0.55823977
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19548668} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.200562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55823977 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.984783°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30729 KachelY 26617 -0.19548668 0.55823977 -11.200562 31.984783
    Oben rechts KachelX + 1 30730 KachelY 26617 -0.19539080 0.55823977 -11.195068 31.984783
    Unten links KachelX 30729 KachelY + 1 26618 -0.19548668 0.55815845 -11.200562 31.980123
    Unten rechts KachelX + 1 30730 KachelY + 1 26618 -0.19539080 0.55815845 -11.195068 31.980123
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(0.55823977-0.55815845) × R
    8.13200000000514e-05 × 6371000
    dl = 518.089720000327m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(0.55823977-0.55815845) × R
    8.13200000000514e-05 × 6371000
    dr = 518.089720000327m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19548668--0.19539080) × cos(0.55823977) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.848188807840374 × 6371000
    do = 518.117388588688m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19548668--0.19539080) × cos(0.55815845) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.848231879752863 × 6371000
    du = 518.143699130178m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(0.55823977)-sin(0.55815845))×
    abs(λ12)×abs(0.848188807840374-0.848231879752863)×
    abs(-0.19539080--0.19548668)×4.3071912489312e-05×
    9.58799999999926e-05×4.3071912489312e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.3071912489312e-05×40589641000000
    ar = 268438.108539491m²