Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30726 / 26629
↖ ↑ ↗
← N 31.928855°
W 11.217041°		 ← 518.43 m → N 31.928855°
W 11.211548°		 →
↑
518.41 m
↓
↑
518.41 m
↓
N 31.924192°
W 11.217041°		 ← 518.46 m →
268 767 m²		 N 31.924192°
W 11.211548°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30726 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26629 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468849182128906 y=0.406333923339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468849182128906 × 216)
    floor (0.468849182128906 × 65536)
    floor (30726.5)     		tx = 30726
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406333923339844 × 216)
    floor (0.406333923339844 × 65536)
    floor (26629.5)     		ty = 26629
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30726 / 26629 ti = "16/30726/26629"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30726/26629.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30726 ÷ 216
    30726 ÷ 65536     		x = 0.468841552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26629 ÷ 216
    26629 ÷ 65536     		y = 0.406326293945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468841552734375 × 2 - 1) × π
    -0.06231689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.19577430
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406326293945312 × 2 - 1) × π
    0.187347412109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.588569253535049
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19577430} λ = -0.19577430}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.588569253535049))-π/2
    2×atan(1.80140921088356)-π/2
    2×1.0640299847317-π/2
    2.1280599694634-1.57079632675     		φ = 0.55726364
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19577430} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.217041°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55726364 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.928855°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30726 KachelY 26629 -0.19577430 0.55726364 -11.217041 31.928855
    Oben rechts KachelX + 1 30727 KachelY 26629 -0.19567842 0.55726364 -11.211548 31.928855
    Unten links KachelX 30726 KachelY + 1 26630 -0.19577430 0.55718227 -11.217041 31.924192
    Unten rechts KachelX + 1 30727 KachelY + 1 26630 -0.19567842 0.55718227 -11.211548 31.924192
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55726364-0.55718227) × R
    8.13699999999695e-05 × 6371000     		dl = 518.408269999806m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55726364-0.55718227) × R
    8.13699999999695e-05 × 6371000     		dr = 518.408269999806m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19577430--0.19567842) × cos(0.55726364) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.848705453884366 × 6371000     		do = 518.432982589447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19577430--0.19567842) × cos(0.55718227) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.848748484886188 × 6371000     		du = 518.459268140596m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55726364)-sin(0.55718227))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.848705453884366-0.848748484886188)×R²
    abs(-0.19567842--0.19577430)×4.30310018216806e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.30310018216806e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.30310018216806e-05×40589641000000     		ar = 268766.759086519m²