Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30724 / 26636
↖ ↑ ↗
← N 31.896214°
W 11.228028°		 ← 518.62 m → N 31.896214°
W 11.222534°		 →
↑
518.60 m
↓
↑
518.60 m
↓
N 31.891551°
W 11.228028°		 ← 518.64 m →
268 961 m²		 N 31.891551°
W 11.222534°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30724 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26636 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468818664550781 y=0.406440734863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468818664550781 × 216)
    floor (0.468818664550781 × 65536)
    floor (30724.5)     		tx = 30724
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406440734863281 × 216)
    floor (0.406440734863281 × 65536)
    floor (26636.5)     		ty = 26636
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30724 / 26636 ti = "16/30724/26636"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30724/26636.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30724 ÷ 216
    30724 ÷ 65536     		x = 0.46881103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26636 ÷ 216
    26636 ÷ 65536     		y = 0.40643310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46881103515625 × 2 - 1) × π
    -0.0623779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19596605
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40643310546875 × 2 - 1) × π
    0.1871337890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.587898136940369
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19596605} λ = -0.19596605}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.587898136940369))-π/2
    2×atan(1.80020066085268)-π/2
    2×1.06374514404417-π/2
    2.12749028808835-1.57079632675     		φ = 0.55669396
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19596605} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.228028°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55669396 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.896214°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30724 KachelY 26636 -0.19596605 0.55669396 -11.228028 31.896214
    Oben rechts KachelX + 1 30725 KachelY 26636 -0.19587017 0.55669396 -11.222534 31.896214
    Unten links KachelX 30724 KachelY + 1 26637 -0.19596605 0.55661256 -11.228028 31.891551
    Unten rechts KachelX + 1 30725 KachelY + 1 26637 -0.19587017 0.55661256 -11.222534 31.891551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55669396-0.55661256) × R
    8.14000000000092e-05 × 6371000     		dl = 518.599400000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55669396-0.55661256) × R
    8.14000000000092e-05 × 6371000     		dr = 518.599400000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19596605--0.19587017) × cos(0.55669396) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.849006600429345 × 6371000     		do = 518.616938401994m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19596605--0.19587017) × cos(0.55661256) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.84904960793096 × 6371000     		du = 518.643209598007m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55669396)-sin(0.55661256))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849006600429345-0.84904960793096)×R²
    abs(-0.19587017--0.19596605)×4.3007501614456e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.3007501614456e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.3007501614456e-05×40589641000000     		ar = 268961.245346916m²