Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30723 / 26599
↖ ↑ ↗
← N 32.068611°
W 11.233521°		 ← 517.59 m → N 32.068611°
W 11.228028°		 →
↑
517.58 m
↓
↑
517.58 m
↓
N 32.063956°
W 11.233521°		 ← 517.62 m →
267 901 m²		 N 32.063956°
W 11.228028°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30723 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26599 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468803405761719 y=0.405876159667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468803405761719 × 216)
    floor (0.468803405761719 × 65536)
    floor (30723.5)     		tx = 30723
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405876159667969 × 216)
    floor (0.405876159667969 × 65536)
    floor (26599.5)     		ty = 26599
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30723 / 26599 ti = "16/30723/26599"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30723/26599.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30723 ÷ 216
    30723 ÷ 65536     		x = 0.468795776367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26599 ÷ 216
    26599 ÷ 65536     		y = 0.405868530273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468795776367188 × 2 - 1) × π
    -0.062408447265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.19606192
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.405868530273438 × 2 - 1) × π
    0.188262939453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.591445467512253
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19606192} λ = -0.19606192}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.591445467512253))-π/2
    2×atan(1.80659790755851)-π/2
    2×1.06524958494224-π/2
    2.13049916988448-1.57079632675     		φ = 0.55970284
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19606192} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.233521°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55970284 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.068611°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30723 KachelY 26599 -0.19606192 0.55970284 -11.233521 32.068611
    Oben rechts KachelX + 1 30724 KachelY 26599 -0.19596605 0.55970284 -11.228028 32.068611
    Unten links KachelX 30723 KachelY + 1 26600 -0.19606192 0.55962160 -11.233521 32.063956
    Unten rechts KachelX + 1 30724 KachelY + 1 26600 -0.19596605 0.55962160 -11.228028 32.063956
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55970284-0.55962160) × R
    8.12399999999824e-05 × 6371000     		dl = 517.580039999888m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55970284-0.55962160) × R
    8.12399999999824e-05 × 6371000     		dr = 517.580039999888m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19606192--0.19596605) × cos(0.55970284) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.847412920893632 × 6371000     		do = 517.589448221797m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19606192--0.19596605) × cos(0.55962160) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.847456051208141 × 6371000     		du = 517.615791690415m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55970284)-sin(0.55962160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.847412920893632-0.847456051208141)×R²
    abs(-0.19596605--0.19606192)×4.31303145089768e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.31303145089768e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.31303145089768e-05×40589641000000     		ar = 267900.784888636m²