Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30722 / 26597
↖ ↑ ↗
← N 32.077920°
W 11.239013°		 ← 517.54 m → N 32.077920°
W 11.233521°		 →
↑
517.52 m
↓
↑
517.52 m
↓
N 32.073266°
W 11.239013°		 ← 517.56 m →
267 841 m²		 N 32.073266°
W 11.233521°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30722 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26597 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468788146972656 y=0.405845642089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468788146972656 × 216)
    floor (0.468788146972656 × 65536)
    floor (30722.5)     		tx = 30722
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405845642089844 × 216)
    floor (0.405845642089844 × 65536)
    floor (26597.5)     		ty = 26597
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30722 / 26597 ti = "16/30722/26597"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30722/26597.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30722 ÷ 216
    30722 ÷ 65536     		x = 0.468780517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26597 ÷ 216
    26597 ÷ 65536     		y = 0.405838012695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468780517578125 × 2 - 1) × π
    -0.06243896484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.19615779
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.405838012695312 × 2 - 1) × π
    0.188323974609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.591637215110733
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19615779} λ = -0.19615779}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.591637215110733))-π/2
    2×atan(1.80694435158255)-π/2
    2×1.06533082550254-π/2
    2.13066165100509-1.57079632675     		φ = 0.55986532
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19615779} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.239013°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55986532 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.077920°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30722 KachelY 26597 -0.19615779 0.55986532 -11.239013 32.077920
    Oben rechts KachelX + 1 30723 KachelY 26597 -0.19606192 0.55986532 -11.233521 32.077920
    Unten links KachelX 30722 KachelY + 1 26598 -0.19615779 0.55978409 -11.239013 32.073266
    Unten rechts KachelX + 1 30723 KachelY + 1 26598 -0.19606192 0.55978409 -11.233521 32.073266
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55986532-0.55978409) × R
    8.12300000000432e-05 × 6371000     		dl = 517.516330000275m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55986532-0.55978409) × R
    8.12300000000432e-05 × 6371000     		dr = 517.516330000275m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19615779--0.19606192) × cos(0.55986532) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.847326643486282 × 6371000     		do = 517.53675103656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19615779--0.19606192) × cos(0.55978409) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.847369779676218 × 6371000     		du = 517.563098093817m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55986532)-sin(0.55978409))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.847326643486282-0.847369779676218)×R²
    abs(-0.19606192--0.19615779)×4.31361899364546e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.31361899364546e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.31361899364546e-05×40589641000000     		ar = 267840.537700467m²