Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30716 / 26620
↖ ↑ ↗
← N 31.970804°
W 11.271973°		 ← 518.20 m → N 31.970804°
W 11.266479°		 →
↑
518.15 m
↓
↑
518.15 m
↓
N 31.966144°
W 11.271973°		 ← 518.22 m →
268 512 m²		 N 31.966144°
W 11.266479°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30716 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26620 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468696594238281 y=0.406196594238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468696594238281 × 216)
    floor (0.468696594238281 × 65536)
    floor (30716.5)     		tx = 30716
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406196594238281 × 216)
    floor (0.406196594238281 × 65536)
    floor (26620.5)     		ty = 26620
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30716 / 26620 ti = "16/30716/26620"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30716/26620.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30716 ÷ 216
    30716 ÷ 65536     		x = 0.46868896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26620 ÷ 216
    26620 ÷ 65536     		y = 0.40618896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46868896484375 × 2 - 1) × π
    -0.0626220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.19673304
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40618896484375 × 2 - 1) × π
    0.1876220703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.58943211772821
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19673304} λ = -0.19673304}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.58943211772821))-π/2
    2×atan(1.80296425318754)-π/2
    2×1.0643960599381-π/2
    2.12879211987621-1.57079632675     		φ = 0.55799579
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19673304} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.271973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55799579 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.970804°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30716 KachelY 26620 -0.19673304 0.55799579 -11.271973 31.970804
    Oben rechts KachelX + 1 30717 KachelY 26620 -0.19663716 0.55799579 -11.266479 31.970804
    Unten links KachelX 30716 KachelY + 1 26621 -0.19673304 0.55791446 -11.271973 31.966144
    Unten rechts KachelX + 1 30717 KachelY + 1 26621 -0.19663716 0.55791446 -11.266479 31.966144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55799579-0.55791446) × R
    8.13299999999906e-05 × 6371000     		dl = 518.15342999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55799579-0.55791446) × R
    8.13299999999906e-05 × 6371000     		dr = 518.15342999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19673304--0.19663716) × cos(0.55799579) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.848318017339372 × 6371000     		do = 518.196316402381m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19673304--0.19663716) × cos(0.55791446) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.848361077715882 × 6371000     		du = 518.222619897102m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55799579)-sin(0.55791446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.848318017339372-0.848361077715882)×R²
    abs(-0.19663716--0.19673304)×4.30603765101401e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.30603765101401e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.30603765101401e-05×40589641000000     		ar = 268512.013527948m²