Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30710 / 26651
↖ ↑ ↗
← N 31.826232°
W 11.304932°		 ← 518.96 m → N 31.826232°
W 11.299439°		 →
↑
519.05 m
↓
↑
519.05 m
↓
N 31.821564°
W 11.304932°		 ← 518.98 m →
269 369 m²		 N 31.821564°
W 11.299439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30710 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26651 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468605041503906 y=0.406669616699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468605041503906 × 216)
    floor (0.468605041503906 × 65536)
    floor (30710.5)     		tx = 30710
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406669616699219 × 216)
    floor (0.406669616699219 × 65536)
    floor (26651.5)     		ty = 26651
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30710 / 26651 ti = "16/30710/26651"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30710/26651.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30710 ÷ 216
    30710 ÷ 65536     		x = 0.468597412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26651 ÷ 216
    26651 ÷ 65536     		y = 0.406661987304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468597412109375 × 2 - 1) × π
    -0.06280517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.19730828
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406661987304688 × 2 - 1) × π
    0.186676025390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.586460029951767
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19730828} λ = -0.19730828}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.586460029951767))-π/2
    2×atan(1.79761364035341)-π/2
    2×1.06313443103179-π/2
    2.12626886206357-1.57079632675     		φ = 0.55547254
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19730828} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.304932°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55547254 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.826232°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30710 KachelY 26651 -0.19730828 0.55547254 -11.304932 31.826232
    Oben rechts KachelX + 1 30711 KachelY 26651 -0.19721241 0.55547254 -11.299439 31.826232
    Unten links KachelX 30710 KachelY + 1 26652 -0.19730828 0.55539107 -11.304932 31.821564
    Unten rechts KachelX + 1 30711 KachelY + 1 26652 -0.19721241 0.55539107 -11.299439 31.821564
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55547254-0.55539107) × R
    8.14700000000279e-05 × 6371000     		dl = 519.045370000178m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55547254-0.55539107) × R
    8.14700000000279e-05 × 6371000     		dr = 519.045370000178m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19730828--0.19721241) × cos(0.55547254) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.849651343603166 × 6371000     		do = 518.95664943687m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19730828--0.19721241) × cos(0.55539107) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.849694303568596 × 6371000     		du = 518.982888858354m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55547254)-sin(0.55539107))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849651343603166-0.849694303568596)×R²
    abs(-0.19721241--0.19730828)×4.29599654303559e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.29599654303559e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.29599654303559e-05×40589641000000     		ar = 269368.855995311m²