Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30709 / 26649
↖ ↑ ↗
← N 31.835566°
W 11.310425°		 ← 518.90 m → N 31.835566°
W 11.304932°		 →
↑
518.98 m
↓
↑
518.98 m
↓
N 31.830899°
W 11.310425°		 ← 518.93 m →
269 309 m²		 N 31.830899°
W 11.304932°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30709 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26649 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468589782714844 y=0.406639099121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468589782714844 × 216)
    floor (0.468589782714844 × 65536)
    floor (30709.5)     		tx = 30709
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406639099121094 × 216)
    floor (0.406639099121094 × 65536)
    floor (26649.5)     		ty = 26649
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30709 / 26649 ti = "16/30709/26649"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30709/26649.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30709 ÷ 216
    30709 ÷ 65536     		x = 0.468582153320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26649 ÷ 216
    26649 ÷ 65536     		y = 0.406631469726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468582153320312 × 2 - 1) × π
    -0.062835693359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.19740415
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406631469726562 × 2 - 1) × π
    0.186737060546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.586651777550247
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19740415} λ = -0.19740415}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.586651777550247))-π/2
    2×atan(1.79795836150062)-π/2
    2×1.06321588621568-π/2
    2.12643177243136-1.57079632675     		φ = 0.55563545
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19740415} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.310425°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55563545 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.835566°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30709 KachelY 26649 -0.19740415 0.55563545 -11.310425 31.835566
    Oben rechts KachelX + 1 30710 KachelY 26649 -0.19730828 0.55563545 -11.304932 31.835566
    Unten links KachelX 30709 KachelY + 1 26650 -0.19740415 0.55555399 -11.310425 31.830899
    Unten rechts KachelX + 1 30710 KachelY + 1 26650 -0.19730828 0.55555399 -11.304932 31.830899
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55563545-0.55555399) × R
    8.14599999999777e-05 × 6371000     		dl = 518.981659999858m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55563545-0.55555399) × R
    8.14599999999777e-05 × 6371000     		dr = 518.981659999858m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19740415--0.19730828) × cos(0.55563545) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.84956542257876 × 6371000     		do = 518.904169925977m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19740415--0.19730828) × cos(0.55555399) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.849608388546574 × 6371000     		du = 518.930413013644m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55563545)-sin(0.55555399))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.84956542257876-0.849608388546574)×R²
    abs(-0.19730828--0.19740415)×4.29659678133909e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.29659678133909e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.29659678133909e-05×40589641000000     		ar = 269308.557478336m²