Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30706 / 26654
↖ ↑ ↗
← N 31.812229°
W 11.326904°		 ← 519.04 m → N 31.812229°
W 11.321411°		 →
↑
519.05 m
↓
↑
519.05 m
↓
N 31.807561°
W 11.326904°		 ← 519.06 m →
269 410 m²		 N 31.807561°
W 11.321411°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30706 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26654 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468544006347656 y=0.406715393066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468544006347656 × 216)
    floor (0.468544006347656 × 65536)
    floor (30706.5)     		tx = 30706
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406715393066406 × 216)
    floor (0.406715393066406 × 65536)
    floor (26654.5)     		ty = 26654
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30706 / 26654 ti = "16/30706/26654"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30706/26654.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30706 ÷ 216
    30706 ÷ 65536     		x = 0.468536376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26654 ÷ 216
    26654 ÷ 65536     		y = 0.406707763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468536376953125 × 2 - 1) × π
    -0.06292724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.19769177
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406707763671875 × 2 - 1) × π
    0.18658447265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.586172408554047
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19769177} λ = -0.19769177}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.586172408554047))-π/2
    2×atan(1.79709668255324)-π/2
    2×1.06301223281212-π/2
    2.12602446562424-1.57079632675     		φ = 0.55522814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19769177} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.326904°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55522814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.812229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30706 KachelY 26654 -0.19769177 0.55522814 -11.326904 31.812229
    Oben rechts KachelX + 1 30707 KachelY 26654 -0.19759590 0.55522814 -11.321411 31.812229
    Unten links KachelX 30706 KachelY + 1 26655 -0.19769177 0.55514667 -11.326904 31.807561
    Unten rechts KachelX + 1 30707 KachelY + 1 26655 -0.19759590 0.55514667 -11.321411 31.807561
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55522814-0.55514667) × R
    8.14700000000279e-05 × 6371000     		dl = 519.045370000178m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55522814-0.55514667) × R
    8.14700000000279e-05 × 6371000     		dr = 519.045370000178m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19769177--0.19759590) × cos(0.55522814) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.849780201308617 × 6371000     		do = 519.03535414743m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19769177--0.19759590) × cos(0.55514667) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.849823144354701 × 6371000     		du = 519.061583234785m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55522814)-sin(0.55514667))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849780201308617-0.849823144354701)×R²
    abs(-0.19759590--0.19769177)×4.29430460843205e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.29430460843205e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.29430460843205e-05×40589641000000     		ar = 269409.70462874m²