Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30702 / 26642
↖ ↑ ↗
← N 31.868228°
W 11.348877°		 ← 518.72 m → N 31.868228°
W 11.343384°		 →
↑
518.73 m
↓
↑
518.73 m
↓
N 31.863563°
W 11.348877°		 ← 518.75 m →
269 081 m²		 N 31.863563°
W 11.343384°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30702 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26642 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468482971191406 y=0.406532287597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468482971191406 × 216)
    floor (0.468482971191406 × 65536)
    floor (30702.5)     		tx = 30702
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406532287597656 × 216)
    floor (0.406532287597656 × 65536)
    floor (26642.5)     		ty = 26642
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30702 / 26642 ti = "16/30702/26642"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30702/26642.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30702 ÷ 216
    30702 ÷ 65536     		x = 0.468475341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26642 ÷ 216
    26642 ÷ 65536     		y = 0.406524658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468475341796875 × 2 - 1) × π
    -0.06304931640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.19807527
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406524658203125 × 2 - 1) × π
    0.18695068359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.587322894144928
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19807527} λ = -0.19807527}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.587322894144928))-π/2
    2×atan(1.79916540618212)-π/2
    2×1.06350091447432-π/2
    2.12700182894864-1.57079632675     		φ = 0.55620550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19807527} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.348877°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55620550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.868228°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30702 KachelY 26642 -0.19807527 0.55620550 -11.348877 31.868228
    Oben rechts KachelX + 1 30703 KachelY 26642 -0.19797940 0.55620550 -11.343384 31.868228
    Unten links KachelX 30702 KachelY + 1 26643 -0.19807527 0.55612408 -11.348877 31.863563
    Unten rechts KachelX + 1 30703 KachelY + 1 26643 -0.19797940 0.55612408 -11.343384 31.863563
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55620550-0.55612408) × R
    8.14199999999987e-05 × 6371000     		dl = 518.726819999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55620550-0.55612408) × R
    8.14199999999987e-05 × 6371000     		dr = 518.726819999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19807527--0.19797940) × cos(0.55620550) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.849264592724852 × 6371000     		do = 518.720426730359m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19807527--0.19797940) × cos(0.55612408) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.8493075770214 × 6371000     		du = 518.746681012993m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55620550)-sin(0.55612408))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849264592724852-0.8493075770214)×R²
    abs(-0.19797940--0.19807527)×4.2984296547588e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.2984296547588e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.2984296547588e-05×40589641000000     		ar = 269081.006975628m²