Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 307 / 147
↖ ↑ ↗
← N 60.586967°
E 35.859375°		 ← 38.396 km → N 60.586967°
E 36.562500°		 →
↑
38.602 km
↓
↑
38.602 km
↓
N 60.239811°
E 35.859375°		 ← 38.808 km →
1 490.13 km²		 N 60.239811°
E 36.562500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 307 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 147 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6005859375 y=0.2880859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6005859375 × 29)
    floor (0.6005859375 × 512)
    floor (307.5)     		tx = 307
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2880859375 × 29)
    floor (0.2880859375 × 512)
    floor (147.5)     		ty = 147
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 307 / 147 ti = "9/307/147"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/307/147.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 307 ÷ 29
    307 ÷ 512     		x = 0.599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 147 ÷ 29
    147 ÷ 512     		y = 0.287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.599609375 × 2 - 1) × π
    0.19921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.62586416
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.287109375 × 2 - 1) × π
    0.42578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.33763124699805
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62586416} λ = 0.62586416}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.33763124699805))-π/2
    2×atan(3.81000784045252)-π/2
    2×1.31411919534841-π/2
    2.62823839069681-1.57079632675     		φ = 1.05744206
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62586416} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.859375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05744206 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.586967°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 307 KachelY 147 0.62586416 1.05744206 35.859375 60.586967
    Oben rechts KachelX + 1 308 KachelY 147 0.63813601 1.05744206 36.562500 60.586967
    Unten links KachelX 307 KachelY + 1 148 0.62586416 1.05138305 35.859375 60.239811
    Unten rechts KachelX + 1 308 KachelY + 1 148 0.63813601 1.05138305 36.562500 60.239811
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05744206-1.05138305) × R
    0.00605900999999998 × 6371000     		dl = 38601.9527099998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05744206-1.05138305) × R
    0.00605900999999998 × 6371000     		dr = 38601.9527099998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62586416-0.63813601) × cos(1.05744206) × R
    0.01227185 × 0.491101913051552 × 6371000     		do = 38396.2905334239m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62586416-0.63813601) × cos(1.05138305) × R
    0.01227185 × 0.496370882698369 × 6371000     		du = 38808.2394263001m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05744206)-sin(1.05138305))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.491101913051552-0.496370882698369)×R²
    abs(0.63813601-0.62586416)×0.00526896964681706×R²
    0.01227185×0.00526896964681706×6371000²
    0.01227185×0.00526896964681706×40589641000000     		ar = 1490127366.0012m²