Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30693 / 26621
↖ ↑ ↗
← N 31.966144°
W 11.398315°		 ← 518.17 m → N 31.966144°
W 11.392822°		 →
↑
518.22 m
↓
↑
518.22 m
↓
N 31.961483°
W 11.398315°		 ← 518.19 m →
268 531 m²		 N 31.961483°
W 11.392822°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30693 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26621 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468345642089844 y=0.406211853027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468345642089844 × 216)
    floor (0.468345642089844 × 65536)
    floor (30693.5)     		tx = 30693
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406211853027344 × 216)
    floor (0.406211853027344 × 65536)
    floor (26621.5)     		ty = 26621
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30693 / 26621 ti = "16/30693/26621"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30693/26621.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30693 ÷ 216
    30693 ÷ 65536     		x = 0.468338012695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26621 ÷ 216
    26621 ÷ 65536     		y = 0.406204223632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468338012695312 × 2 - 1) × π
    -0.063323974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.19893813
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406204223632812 × 2 - 1) × π
    0.187591552734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.58933624392897
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19893813} λ = -0.19893813}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.58933624392897))-π/2
    2×atan(1.80279140444066)-π/2
    2×1.06435539317039-π/2
    2.12871078634078-1.57079632675     		φ = 0.55791446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19893813} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.398315°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55791446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.966144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30693 KachelY 26621 -0.19893813 0.55791446 -11.398315 31.966144
    Oben rechts KachelX + 1 30694 KachelY 26621 -0.19884226 0.55791446 -11.392822 31.966144
    Unten links KachelX 30693 KachelY + 1 26622 -0.19893813 0.55783312 -11.398315 31.961483
    Unten rechts KachelX + 1 30694 KachelY + 1 26622 -0.19884226 0.55783312 -11.392822 31.961483
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55791446-0.55783312) × R
    8.13400000000408e-05 × 6371000     		dl = 518.21714000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55791446-0.55783312) × R
    8.13400000000408e-05 × 6371000     		dr = 518.21714000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19893813--0.19884226) × cos(0.55791446) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.848361077715882 × 6371000     		do = 518.168570812869m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19893813--0.19884226) × cos(0.55783312) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.84840413777434 × 6371000     		du = 518.194871369951m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55791446)-sin(0.55783312))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.848361077715882-0.84840413777434)×R²
    abs(-0.19884226--0.19893813)×4.30600584578889e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.30600584578889e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.30600584578889e-05×40589641000000     		ar = 268530.649652483m²