Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30681 / 26622
↖ ↑ ↗
← N 31.961483°
W 11.464233°		 ← 518.19 m → N 31.961483°
W 11.458741°		 →
↑
518.22 m
↓
↑
518.22 m
↓
N 31.956823°
W 11.464233°		 ← 518.22 m →
268 544 m²		 N 31.956823°
W 11.458741°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30681 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26622 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468162536621094 y=0.406227111816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468162536621094 × 216)
    floor (0.468162536621094 × 65536)
    floor (30681.5)     		tx = 30681
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406227111816406 × 216)
    floor (0.406227111816406 × 65536)
    floor (26622.5)     		ty = 26622
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30681 / 26622 ti = "16/30681/26622"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30681/26622.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30681 ÷ 216
    30681 ÷ 65536     		x = 0.468154907226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26622 ÷ 216
    26622 ÷ 65536     		y = 0.406219482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468154907226562 × 2 - 1) × π
    -0.063690185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.20008862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406219482421875 × 2 - 1) × π
    0.18756103515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.58924037012973
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20008862} λ = -0.20008862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.58924037012973))-π/2
    2×atan(1.80261857226465)-π/2
    2×1.06431472433849-π/2
    2.12862944867697-1.57079632675     		φ = 0.55783312
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20008862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.464233°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55783312 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.961483°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30681 KachelY 26622 -0.20008862 0.55783312 -11.464233 31.961483
    Oben rechts KachelX + 1 30682 KachelY 26622 -0.19999275 0.55783312 -11.458741 31.961483
    Unten links KachelX 30681 KachelY + 1 26623 -0.20008862 0.55775178 -11.464233 31.956823
    Unten rechts KachelX + 1 30682 KachelY + 1 26623 -0.19999275 0.55775178 -11.458741 31.956823
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55783312-0.55775178) × R
    8.13399999999298e-05 × 6371000     		dl = 518.217139999553m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55783312-0.55775178) × R
    8.13399999999298e-05 × 6371000     		dr = 518.217139999553m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20008862--0.19999275) × cos(0.55783312) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.84840413777434 × 6371000     		do = 518.194871369951m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20008862--0.19999275) × cos(0.55775178) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.84844719221959 × 6371000     		du = 518.221168498554m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55783312)-sin(0.55775178))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.84840413777434-0.84844719221959)×R²
    abs(-0.19999275--0.20008862)×4.30544452501014e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.30544452501014e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.30544452501014e-05×40589641000000     		ar = 268544.278163357m²