Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30680 / 26579
↖ ↑ ↗
← N 32.161663°
W 11.469726°		 ← 517.06 m → N 32.161663°
W 11.464233°		 →
↑
517.07 m
↓
↑
517.07 m
↓
N 32.157013°
W 11.469726°		 ← 517.09 m →
267 364 m²		 N 32.157013°
W 11.464233°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30680 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26579 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468147277832031 y=0.405570983886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468147277832031 × 216)
    floor (0.468147277832031 × 65536)
    floor (30680.5)     		tx = 30680
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405570983886719 × 216)
    floor (0.405570983886719 × 65536)
    floor (26579.5)     		ty = 26579
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30680 / 26579 ti = "16/30680/26579"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30680/26579.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30680 ÷ 216
    30680 ÷ 65536     		x = 0.4681396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26579 ÷ 216
    26579 ÷ 65536     		y = 0.405563354492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4681396484375 × 2 - 1) × π
    -0.063720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.20018449
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.405563354492188 × 2 - 1) × π
    0.188873291015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.593362943497055
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20018449} λ = -0.20018449}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.593362943497055))-π/2
    2×atan(1.81006533895627)-π/2
    2×1.066061618129-π/2
    2.13212323625799-1.57079632675     		φ = 0.56132691
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20018449} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.469726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56132691 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.161663°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30680 KachelY 26579 -0.20018449 0.56132691 -11.469726 32.161663
    Oben rechts KachelX + 1 30681 KachelY 26579 -0.20008862 0.56132691 -11.464233 32.161663
    Unten links KachelX 30680 KachelY + 1 26580 -0.20018449 0.56124575 -11.469726 32.157013
    Unten rechts KachelX + 1 30681 KachelY + 1 26580 -0.20008862 0.56124575 -11.464233 32.157013
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56132691-0.56124575) × R
    8.11600000000245e-05 × 6371000     		dl = 517.070360000156m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56132691-0.56124575) × R
    8.11600000000245e-05 × 6371000     		dr = 517.070360000156m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20018449--0.20008862) × cos(0.56132691) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.846549529065612 × 6371000     		do = 517.062099052524m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20018449--0.20008862) × cos(0.56124575) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.846592728553931 × 6371000     		du = 517.08848477166m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56132691)-sin(0.56124575))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.846549529065612-0.846592728553931)×R²
    abs(-0.20008862--0.20018449)×4.31994883192122e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.31994883192122e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.31994883192122e-05×40589641000000     		ar = 267364.307482534m²