Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30673 / 26578
↖ ↑ ↗
← N 32.166313°
W 11.508179°		 ← 517.04 m → N 32.166313°
W 11.502686°		 →
↑
517.07 m
↓
↑
517.07 m
↓
N 32.161663°
W 11.508179°		 ← 517.06 m →
267 351 m²		 N 32.161663°
W 11.502686°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30673 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26578 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468040466308594 y=0.405555725097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468040466308594 × 216)
    floor (0.468040466308594 × 65536)
    floor (30673.5)     		tx = 30673
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405555725097656 × 216)
    floor (0.405555725097656 × 65536)
    floor (26578.5)     		ty = 26578
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30673 / 26578 ti = "16/30673/26578"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30673/26578.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30673 ÷ 216
    30673 ÷ 65536     		x = 0.468032836914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26578 ÷ 216
    26578 ÷ 65536     		y = 0.405548095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468032836914062 × 2 - 1) × π
    -0.063934326171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.20085561
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.405548095703125 × 2 - 1) × π
    0.18890380859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.593458817296295
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20085561} λ = -0.20085561}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.593458817296295))-π/2
    2×atan(1.81023888511632)-π/2
    2×1.06610219805327-π/2
    2.13220439610653-1.57079632675     		φ = 0.56140807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20085561} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.508179°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56140807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.166313°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30673 KachelY 26578 -0.20085561 0.56140807 -11.508179 32.166313
    Oben rechts KachelX + 1 30674 KachelY 26578 -0.20075974 0.56140807 -11.502686 32.166313
    Unten links KachelX 30673 KachelY + 1 26579 -0.20085561 0.56132691 -11.508179 32.161663
    Unten rechts KachelX + 1 30674 KachelY + 1 26579 -0.20075974 0.56132691 -11.502686 32.161663
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56140807-0.56132691) × R
    8.11600000000245e-05 × 6371000     		dl = 517.070360000156m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56140807-0.56132691) × R
    8.11600000000245e-05 × 6371000     		dr = 517.070360000156m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20085561--0.20075974) × cos(0.56140807) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.846506324001117 × 6371000     		do = 517.035709927529m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20085561--0.20075974) × cos(0.56132691) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.846549529065612 × 6371000     		du = 517.062099052524m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56140807)-sin(0.56132691))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.846506324001117-0.846549529065612)×R²
    abs(-0.20075974--0.20085561)×4.32050644949555e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.32050644949555e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.32050644949555e-05×40589641000000     		ar = 267350.663329356m²