Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30666 / 26577
↖ ↑ ↗
← N 32.170963°
W 11.546631°		 ← 517.06 m → N 32.170963°
W 11.541138°		 →
↑
517.07 m
↓
↑
517.07 m
↓
N 32.166313°
W 11.546631°		 ← 517.09 m →
267 365 m²		 N 32.166313°
W 11.541138°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30666 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26577 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467933654785156 y=0.405540466308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467933654785156 × 216)
    floor (0.467933654785156 × 65536)
    floor (30666.5)     		tx = 30666
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405540466308594 × 216)
    floor (0.405540466308594 × 65536)
    floor (26577.5)     		ty = 26577
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30666 / 26577 ti = "16/30666/26577"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30666/26577.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30666 ÷ 216
    30666 ÷ 65536     		x = 0.467926025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26577 ÷ 216
    26577 ÷ 65536     		y = 0.405532836914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467926025390625 × 2 - 1) × π
    -0.06414794921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.20152673
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.405532836914062 × 2 - 1) × π
    0.188934326171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.593554691095535
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20152673} λ = -0.20152673}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.593554691095535))-π/2
    2×atan(1.8104124479157)-π/2
    2×1.06614277590634-π/2
    2.13228555181268-1.57079632675     		φ = 0.56148923
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20152673} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.546631°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56148923 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.170963°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30666 KachelY 26577 -0.20152673 0.56148923 -11.546631 32.170963
    Oben rechts KachelX + 1 30667 KachelY 26577 -0.20143085 0.56148923 -11.541138 32.170963
    Unten links KachelX 30666 KachelY + 1 26578 -0.20152673 0.56140807 -11.546631 32.166313
    Unten rechts KachelX + 1 30667 KachelY + 1 26578 -0.20143085 0.56140807 -11.541138 32.166313
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56148923-0.56140807) × R
    8.11599999999135e-05 × 6371000     		dl = 517.070359999449m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56148923-0.56140807) × R
    8.11599999999135e-05 × 6371000     		dr = 517.070359999449m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20152673--0.20143085) × cos(0.56148923) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.846463113360731 × 6371000     		do = 517.063245561771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20152673--0.20143085) × cos(0.56140807) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.846506324001117 × 6371000     		du = 517.089640845402m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56148923)-sin(0.56140807))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.846463113360731-0.846506324001117)×R²
    abs(-0.20143085--0.20152673)×4.32106403860377e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.32106403860377e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.32106403860377e-05×40589641000000     		ar = 267364.902781352m²