Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30665 / 26667
↖ ↑ ↗
← N 31.751525°
W 11.552124°		 ← 519.38 m → N 31.751525°
W 11.546631°		 →
↑
519.43 m
↓
↑
519.43 m
↓
N 31.746854°
W 11.552124°		 ← 519.40 m →
269 785 m²		 N 31.746854°
W 11.546631°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30665 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26667 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467918395996094 y=0.406913757324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467918395996094 × 216)
    floor (0.467918395996094 × 65536)
    floor (30665.5)     		tx = 30665
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406913757324219 × 216)
    floor (0.406913757324219 × 65536)
    floor (26667.5)     		ty = 26667
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30665 / 26667 ti = "16/30665/26667"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30665/26667.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30665 ÷ 216
    30665 ÷ 65536     		x = 0.467910766601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26667 ÷ 216
    26667 ÷ 65536     		y = 0.406906127929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467910766601562 × 2 - 1) × π
    -0.064178466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.20162260
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406906127929688 × 2 - 1) × π
    0.186187744140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.584926049163925
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20162260} λ = -0.20162260}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.584926049163925))-π/2
    2×atan(1.7948582494638)-π/2
    2×1.06248249314302-π/2
    2.12496498628603-1.57079632675     		φ = 0.55416866
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20162260} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.552124°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55416866 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.751525°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30665 KachelY 26667 -0.20162260 0.55416866 -11.552124 31.751525
    Oben rechts KachelX + 1 30666 KachelY 26667 -0.20152673 0.55416866 -11.546631 31.751525
    Unten links KachelX 30665 KachelY + 1 26668 -0.20162260 0.55408713 -11.552124 31.746854
    Unten rechts KachelX + 1 30666 KachelY + 1 26668 -0.20152673 0.55408713 -11.546631 31.746854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55416866-0.55408713) × R
    8.15299999999963e-05 × 6371000     		dl = 519.427629999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55416866-0.55408713) × R
    8.15299999999963e-05 × 6371000     		dr = 519.427629999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20162260--0.20152673) × cos(0.55416866) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.85033821556835 × 6371000     		do = 519.376182432911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20162260--0.20152673) × cos(0.55408713) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.85038111680904 × 6371000     		du = 519.402385986042m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55416866)-sin(0.55408713))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.85033821556835-0.85038111680904)×R²
    abs(-0.20152673--0.20162260)×4.29012406901741e-05×R²
    9.58700000000257e-05×4.29012406901741e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×4.29012406901741e-05×40589641000000     		ar = 269785.145093628m²