Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30662 / 26662
↖ ↑ ↗
← N 31.774877°
W 11.568603°		 ← 519.25 m → N 31.774877°
W 11.563111°		 →
↑
519.24 m
↓
↑
519.24 m
↓
N 31.770208°
W 11.568603°		 ← 519.27 m →
269 618 m²		 N 31.770208°
W 11.563111°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30662 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26662 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467872619628906 y=0.406837463378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467872619628906 × 216)
    floor (0.467872619628906 × 65536)
    floor (30662.5)     		tx = 30662
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406837463378906 × 216)
    floor (0.406837463378906 × 65536)
    floor (26662.5)     		ty = 26662
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30662 / 26662 ti = "16/30662/26662"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30662/26662.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30662 ÷ 216
    30662 ÷ 65536     		x = 0.467864990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26662 ÷ 216
    26662 ÷ 65536     		y = 0.406829833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467864990234375 × 2 - 1) × π
    -0.06427001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.20191022
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406829833984375 × 2 - 1) × π
    0.18634033203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.585405418160126
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20191022} λ = -0.20191022}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.585405418160126))-π/2
    2×atan(1.79571885511852)-π/2
    2×1.06268628032094-π/2
    2.12537256064188-1.57079632675     		φ = 0.55457623
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20191022} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.568603°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55457623 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.774877°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30662 KachelY 26662 -0.20191022 0.55457623 -11.568603 31.774877
    Oben rechts KachelX + 1 30663 KachelY 26662 -0.20181435 0.55457623 -11.563111 31.774877
    Unten links KachelX 30662 KachelY + 1 26663 -0.20191022 0.55449473 -11.568603 31.770208
    Unten rechts KachelX + 1 30663 KachelY + 1 26663 -0.20181435 0.55449473 -11.563111 31.770208
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55457623-0.55449473) × R
    8.14999999999566e-05 × 6371000     		dl = 519.236499999723m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55457623-0.55449473) × R
    8.14999999999566e-05 × 6371000     		dr = 519.236499999723m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20191022--0.20181435) × cos(0.55457623) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.850123666712485 × 6371000     		do = 519.245138615531m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20191022--0.20181435) × cos(0.55449473) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.850166580410954 × 6371000     		du = 519.271349777721m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55457623)-sin(0.55449473))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.850123666712485-0.850166580410954)×R²
    abs(-0.20181435--0.20191022)×4.29136984686496e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.29136984686496e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.29136984686496e-05×40589641000000     		ar = 269617.833462111m²