Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30650 / 26678
↖ ↑ ↗
← N 31.700129°
W 11.634522°		 ← 519.72 m → N 31.700129°
W 11.629028°		 →
↑
519.68 m
↓
↑
519.68 m
↓
N 31.695456°
W 11.634522°		 ← 519.74 m →
270 095 m²		 N 31.695456°
W 11.629028°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30650 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26678 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467689514160156 y=0.407081604003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467689514160156 × 216)
    floor (0.467689514160156 × 65536)
    floor (30650.5)     		tx = 30650
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407081604003906 × 216)
    floor (0.407081604003906 × 65536)
    floor (26678.5)     		ty = 26678
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30650 / 26678 ti = "16/30650/26678"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30650/26678.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30650 ÷ 216
    30650 ÷ 65536     		x = 0.467681884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26678 ÷ 216
    26678 ÷ 65536     		y = 0.407073974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467681884765625 × 2 - 1) × π
    -0.06463623046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.20306071
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.407073974609375 × 2 - 1) × π
    0.18585205078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.583871437372284
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20306071} λ = -0.20306071}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.583871437372284))-π/2
    2×atan(1.79296636856489)-π/2
    2×1.06203398040326-π/2
    2.12406796080651-1.57079632675     		φ = 0.55327163
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20306071} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.634522°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55327163 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.700129°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30650 KachelY 26678 -0.20306071 0.55327163 -11.634522 31.700129
    Oben rechts KachelX + 1 30651 KachelY 26678 -0.20296483 0.55327163 -11.629028 31.700129
    Unten links KachelX 30650 KachelY + 1 26679 -0.20306071 0.55319006 -11.634522 31.695456
    Unten rechts KachelX + 1 30651 KachelY + 1 26679 -0.20296483 0.55319006 -11.629028 31.695456
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55327163-0.55319006) × R
    8.15699999999753e-05 × 6371000     		dl = 519.682469999843m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55327163-0.55319006) × R
    8.15699999999753e-05 × 6371000     		dr = 519.682469999843m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20306071--0.20296483) × cos(0.55327163) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.850809923370468 × 6371000     		do = 519.718500889497m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20306071--0.20296483) × cos(0.55319006) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.850852783419142 × 6371000     		du = 519.744682013662m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55327163)-sin(0.55319006))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.850809923370468-0.850852783419142)×R²
    abs(-0.20296483--0.20306071)×4.28600486737096e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.28600486737096e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.28600486737096e-05×40589641000000     		ar = 270095.397332428m²