Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30645 / 26586
↖ ↑ ↗
← N 32.129105°
W 11.661988°		 ← 517.30 m → N 32.129105°
W 11.656494°		 →
↑
517.26 m
↓
↑
517.26 m
↓
N 32.124453°
W 11.661988°		 ← 517.33 m →
267 587 m²		 N 32.124453°
W 11.656494°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30645 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26586 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467613220214844 y=0.405677795410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467613220214844 × 216)
    floor (0.467613220214844 × 65536)
    floor (30645.5)     		tx = 30645
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405677795410156 × 216)
    floor (0.405677795410156 × 65536)
    floor (26586.5)     		ty = 26586
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30645 / 26586 ti = "16/30645/26586"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30645/26586.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30645 ÷ 216
    30645 ÷ 65536     		x = 0.467605590820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26586 ÷ 216
    26586 ÷ 65536     		y = 0.405670166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467605590820312 × 2 - 1) × π
    -0.064788818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.20354008
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.405670166015625 × 2 - 1) × π
    0.18865966796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.592691826902374
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20354008} λ = -0.20354008}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.592691826902374))-π/2
    2×atan(1.80885098160311)-π/2
    2×1.06577750067927-π/2
    2.13155500135854-1.57079632675     		φ = 0.56075867
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20354008} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.661988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56075867 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.129105°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30645 KachelY 26586 -0.20354008 0.56075867 -11.661988 32.129105
    Oben rechts KachelX + 1 30646 KachelY 26586 -0.20344420 0.56075867 -11.656494 32.129105
    Unten links KachelX 30645 KachelY + 1 26587 -0.20354008 0.56067748 -11.661988 32.124453
    Unten rechts KachelX + 1 30646 KachelY + 1 26587 -0.20344420 0.56067748 -11.656494 32.124453
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56075867-0.56067748) × R
    8.11900000000643e-05 × 6371000     		dl = 517.261490000409m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56075867-0.56067748) × R
    8.11900000000643e-05 × 6371000     		dr = 517.261490000409m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20354008--0.20344420) × cos(0.56075867) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.846851872187691 × 6371000     		do = 517.300719466732m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20354008--0.20344420) × cos(0.56067748) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.846895048579369 × 6371000     		du = 517.32709382949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56075867)-sin(0.56067748))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.846851872187691-0.846895048579369)×R²
    abs(-0.20344420--0.20354008)×4.31763916787231e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.31763916787231e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.31763916787231e-05×40589641000000     		ar = 267586.562297609m²