Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30636 / 26604
↖ ↑ ↗
← N 32.045333°
W 11.711426°		 ← 517.72 m → N 32.045333°
W 11.705933°		 →
↑
517.77 m
↓
↑
517.77 m
↓
N 32.040677°
W 11.711426°		 ← 517.75 m →
268 068 m²		 N 32.040677°
W 11.705933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30636 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26604 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467475891113281 y=0.405952453613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467475891113281 × 216)
    floor (0.467475891113281 × 65536)
    floor (30636.5)     		tx = 30636
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405952453613281 × 216)
    floor (0.405952453613281 × 65536)
    floor (26604.5)     		ty = 26604
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30636 / 26604 ti = "16/30636/26604"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30636/26604.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30636 ÷ 216
    30636 ÷ 65536     		x = 0.46746826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26604 ÷ 216
    26604 ÷ 65536     		y = 0.40594482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46746826171875 × 2 - 1) × π
    -0.0650634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.20440294
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40594482421875 × 2 - 1) × π
    0.1881103515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.590966098516052
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20440294} λ = -0.20440294}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.590966098516052))-π/2
    2×atan(1.80573208807312)-π/2
    2×1.06504644735806-π/2
    2.13009289471612-1.57079632675     		φ = 0.55929657
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20440294} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.711426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55929657 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.045333°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30636 KachelY 26604 -0.20440294 0.55929657 -11.711426 32.045333
    Oben rechts KachelX + 1 30637 KachelY 26604 -0.20430707 0.55929657 -11.705933 32.045333
    Unten links KachelX 30636 KachelY + 1 26605 -0.20440294 0.55921530 -11.711426 32.040677
    Unten rechts KachelX + 1 30637 KachelY + 1 26605 -0.20430707 0.55921530 -11.705933 32.040677
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55929657-0.55921530) × R
    8.12700000000222e-05 × 6371000     		dl = 517.771170000141m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55929657-0.55921530) × R
    8.12700000000222e-05 × 6371000     		dr = 517.771170000141m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20440294--0.20430707) × cos(0.55929657) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.847628553673068 × 6371000     		do = 517.721154086287m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20440294--0.20430707) × cos(0.55921530) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.847671671929761 × 6371000     		du = 517.747490190139m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55929657)-sin(0.55921530))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.847628553673068-0.847671671929761)×R²
    abs(-0.20430707--0.20440294)×4.31182566935639e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.31182566935639e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.31182566935639e-05×40589641000000     		ar = 268067.905870347m²