Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30624 / 26782
↖ ↑ ↗
← N 31.212801°
W 11.777344°		 ← 522.43 m → N 31.212801°
W 11.771850°		 →
↑
522.36 m
↓
↑
522.36 m
↓
N 31.208104°
W 11.777344°		 ← 522.46 m →
272 902 m²		 N 31.208104°
W 11.771850°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30624 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26782 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467292785644531 y=0.408668518066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467292785644531 × 216)
    floor (0.467292785644531 × 65536)
    floor (30624.5)     		tx = 30624
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.408668518066406 × 216)
    floor (0.408668518066406 × 65536)
    floor (26782.5)     		ty = 26782
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30624 / 26782 ti = "16/30624/26782"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30624/26782.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30624 ÷ 216
    30624 ÷ 65536     		x = 0.46728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26782 ÷ 216
    26782 ÷ 65536     		y = 0.408660888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46728515625 × 2 - 1) × π
    -0.0654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.20555343
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.408660888671875 × 2 - 1) × π
    0.18267822265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.573900562251312
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20555343} λ = -0.20555343}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.573900562251312))-π/2
    2×atan(1.77517775620003)-π/2
    2×1.05778124050008-π/2
    2.11556248100017-1.57079632675     		φ = 0.54476615
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20555343} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.777344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54476615 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.212801°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30624 KachelY 26782 -0.20555343 0.54476615 -11.777344 31.212801
    Oben rechts KachelX + 1 30625 KachelY 26782 -0.20545755 0.54476615 -11.771850 31.212801
    Unten links KachelX 30624 KachelY + 1 26783 -0.20555343 0.54468416 -11.777344 31.208104
    Unten rechts KachelX + 1 30625 KachelY + 1 26783 -0.20545755 0.54468416 -11.771850 31.208104
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54476615-0.54468416) × R
    8.19899999999762e-05 × 6371000     		dl = 522.358289999849m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54476615-0.54468416) × R
    8.19899999999762e-05 × 6371000     		dr = 522.358289999849m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20555343--0.20545755) × cos(0.54476615) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.855248499468221 × 6371000     		do = 522.429811668053m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20555343--0.20545755) × cos(0.54468416) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.855290985295943 × 6371000     		du = 522.455764198796m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54476615)-sin(0.54468416))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.855248499468221-0.855290985295943)×R²
    abs(-0.20545755--0.20555343)×4.24858277219275e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.24858277219275e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.24858277219275e-05×40589641000000     		ar = 272902.321480506m²