Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30615 / 26566
↖ ↑ ↗
← N 32.222096°
W 11.826782°		 ← 516.72 m → N 32.222096°
W 11.821289°		 →
↑
516.75 m
↓
↑
516.75 m
↓
N 32.217448°
W 11.826782°		 ← 516.75 m →
267 022 m²		 N 32.217448°
W 11.821289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30615 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26566 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467155456542969 y=0.405372619628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467155456542969 × 216)
    floor (0.467155456542969 × 65536)
    floor (30615.5)     		tx = 30615
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405372619628906 × 216)
    floor (0.405372619628906 × 65536)
    floor (26566.5)     		ty = 26566
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30615 / 26566 ti = "16/30615/26566"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30615/26566.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30615 ÷ 216
    30615 ÷ 65536     		x = 0.467147827148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26566 ÷ 216
    26566 ÷ 65536     		y = 0.405364990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467147827148438 × 2 - 1) × π
    -0.065704345703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.20641629
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.405364990234375 × 2 - 1) × π
    0.18927001953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.594609302887177
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20641629} λ = -0.20641629}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.594609302887177))-π/2
    2×atan(1.81232273736084)-π/2
    2×1.06658899554523-π/2
    2.13317799109045-1.57079632675     		φ = 0.56238166
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20641629} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.826782°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56238166 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.222096°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30615 KachelY 26566 -0.20641629 0.56238166 -11.826782 32.222096
    Oben rechts KachelX + 1 30616 KachelY 26566 -0.20632042 0.56238166 -11.821289 32.222096
    Unten links KachelX 30615 KachelY + 1 26567 -0.20641629 0.56230055 -11.826782 32.217448
    Unten rechts KachelX + 1 30616 KachelY + 1 26567 -0.20632042 0.56230055 -11.821289 32.217448
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56238166-0.56230055) × R
    8.11099999999954e-05 × 6371000     		dl = 516.75180999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56238166-0.56230055) × R
    8.11099999999954e-05 × 6371000     		dr = 516.75180999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20641629--0.20632042) × cos(0.56238166) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.845987604345993 × 6371000     		do = 516.71888230612m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20641629--0.20632042) × cos(0.56230055) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.846030849623033 × 6371000     		du = 516.745295992447m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56238166)-sin(0.56230055))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.845987604345993-0.846030849623033)×R²
    abs(-0.20632042--0.20641629)×4.32452770401381e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.32452770401381e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.32452770401381e-05×40589641000000     		ar = 267022.242499266m²